SUPERFICIE DEL TERCER ORDEN DE GRAPiMANN 161 



Supongamos ahora que el punto a tenga algunas posiciones es- 

 peciales. 



1° Supongamos á a en E. La Fo se reduce á un plano E y un 

 cono del segundo orden Ko con su vértice en N. Para todas 

 las posiciones de ^, E queda fijo y solamente varía el cono K, ; 

 todos estos Ko se encuentran en tres generatrices fijas P,, P¿, Pg y 

 una variable G'. A cada punto a en E corresponderá siempre un 

 cono Ko y á la recta que pasa por a y a^ corresponderá la G ' . La recta 

 G' encuentra á E en un punto g que á su vez corresponde á G'. 



Así tenemos una conocida afinidad cuadrática en el plano E que 

 ha sido estudiada más profundamente por Reye. Los tres puntos 

 principales son : los tres p^, p , pg ; las tres rectas principales son 

 las que unen los puntos /",, ^2, /"g entre sí. Cuando g describe una 

 sección cónica por los tres p,,po, pg, G' describirá una sección có- 

 nica que es inscripta á las tres rectas principales. 



2" Supongamos que a esté situado en uno de los tres puntos 

 /"i, /"o, /"g. Entonces el punto x estará siempre en el plano ^, á quien 

 él corresponde y entonces tenemos un especial « Sistema de cero » 

 descubierto por Móbius. 



Si ^ pasa por la recta /j, f^. x estará también situado en ?, y á la 

 vez debe estar en el plano que une $-3 con /ó, cuyo plano lo de- 

 signaremos con •/;. Este plano ■/) encuentra al ^ en una recta Tg ; 

 por consiguiente á un plañe q que pasa por /", /^ corresponde una 

 recta Tg ó mejor dicho los puntos singulares de la recta Tg. 



Ahora bien si \ describe un haz de planos al rededor de la creta 

 /*! fi como eje, Tg describirá un haz de rayos proyectivo con el an- 

 terior y cuyo centro es el punto (/", /I) ^g. Este es el conocido pun- 

 to ^g que se encuentra en la aplicación de la construcción grap- 

 maniana de la curva Cg (fig. 3). 



Análogamente habría para e! haz del eje/) /ó un haz proyectivo 

 en el plano tc^, con centro 70, etc. 



3° Si a coiiiide con N la superficie se convierte en un cono 

 del tercer orden. 



Observemos finalmente que en el caso que los tres puntos /j, fi, 

 /"g coincidieran con los tres puntos Pj, pi, P3, este cono se reducirá 

 á los tres planos::;, ^to, xg. 



La investigación más profunda sobre esta afinidad y especial- 

 mente su estension al espacio á cuatro dimensiones y demás la 

 reservaremos para otros artículos. 



Dr. Federico Haft. 



ANAL. SOC. CIENT. ARG. T. XXIX ]1 



