LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 311 



magnitudes entre sí y con una tercera. Los axiomas 2°, 3°, 4° y 

 0° se deducen de un modo general de la definición de la adición 

 conmutativa. Los 6° y 1° resultan de la definición de lo que es 

 doble ó mitad y de los axiomas 2° y S^y, finalmente, el axioma 9° es 

 deducción lógica de la definición de todo y parte. 



Sin embargo conviene notar que el axioma 8" se refiere solo á 

 la igualdad geométrica, é implica ciertas nociones que desarrolla- 

 remos en seguida y para que fuera general debería ser expresado 

 en los siguientes términos, ú otros parecidos: 8° Una cosa A (cual- 

 quier objeto que convengamos) es ja misma que otra B, cuando 

 todo lo que se puede decir de A se puede decir también de B y recí- 

 procamente, bajo cuya forma lo utilizaremos. 



Diremos entonces que A y B son iguales y escribiremos A = B, 



Cuando A y B se confunden en todas las .propiedades que se 

 quieren examinar, se dice que son idénticas, ó mejor dicbo co?2- 

 gruentes y se escribe A = B. 



De aquellos axiomas aplicados á los cuerpos geométricos tiene 

 que resultar por meros silogismos toda la Geometría. 



Pasando al examen de las palabras cuerpos geométricos, tenemos 

 que sentar en primera línea que el espacio no puede definirse, 

 porque todas sus definiciones son círculos viciosos y porque la 

 noción del espacio está implícitamente comprendida en las de 

 extensión., lugar, posición, movimiento, sentido y tiempo. 



Del mismo modo parece inútil buscar una definición de la pala- 

 bra cuerpo, pero como esplicacion por «cuerpo geométrico v se en- 

 tiende puramente la propiedad de una cosa extendida de tener 

 partes tales que moviéndolas en cualquier sentido no dejen de ser 

 parte integrante de ella. 



Vemos que tan íntimamente ligadas en su sentido están las 

 palabras cuerpo y movimiento, como las de espacio y movimiento; 

 y por consiguiente nos vemos obligados á admitir desde el prin- 

 cipio mismo de este examen el axioma fundamental de toda la Geo- 

 metría, que lo es también de la Mecánica y de la Física, á saber 

 que : Nuestro espacio es tal que las propiedades de la extensión, ó 

 sea las propiedades geométricas de los cuerpos, no se modifican en 

 cuanto á nuestras sensaciones se refiere, cambiando la posición de 

 aquellos, es decir, moviéndolos en nuestro espacio. 



Esta propiedad es exclusivamente sugerida por la experiencia, 

 porque podrían concebirse bien partes del espacio, por ejemplo la 

 superficie de un elipsoide, donde la traslación de una figura, no 



