338 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



matica, libro I (1686), habla de la concepción del espacio y acen- 

 túa la posibilidad racional de un espacio absoluto y aún más, su 

 necesidad (1). 



Con nriás energía lo hizo Euler (1748) en las Mémoires de l'Aca- 

 démie á Berlín y 20 años después Kant en su escrito Del primer 

 motivo de la diferencia de las direcciones en el espacio. Después 

 vino Gauss acentuando que la calidad del espacio, de ser de tres 

 dimensiones, sea una calidad del alma humana, nombrando por 

 burla á hombres incapaces de comprenderlo, Boeotios. También 

 Riemanri en su escrito Sobre las hipótesis que fortnan la base de 

 la geometría y Schopenhauer en varios lugares asi como Carlos 

 Neumann en Principios de la teoría Galileo-lSewtoniana (1869), 

 tratan del espacio absoluto. Con Gauss comienza la averiguación 

 matemática en éste ramo, llamada «geometría absoluta » ó no-eu- 

 clideana (2). Esta geometría prescinde del conocido axioma XI de 

 Euclides que pretende que líneas paralelas no se encuentran y que 

 no hay más que una sola paralela á una recta por un punto exte- 

 rior. Es maravilloso que fuese posible construir sin este axioma, 

 que parece tan fundamental, una geometría completa, libre de 

 contradicciones y concluida en sí tan perfectamente como la vigen- 

 te. Ella no supone un espacio de más de tres dimensiones quedando 

 en los límites actuales, y á pesar de eso llega á resultados aparen- 

 temente paradoxos y aún absurdos como, por ejemplo, que se pueden 

 trazar dos paralelas á una recta por un punto exterior y que haya 

 triángulos donde la suma de los ángulos no es igual á 180 grados y 

 tanto más se distingue de este valor cuanto más grande sea el trián- 

 gulo. Pero el contacto de la geometría absoluta con el espacio cuatro- 

 dimensional es tan delicado y difícil que debo reservar su represen- 

 tación para una conferencia especial. Por ahora citaré solamente 

 algunos autores sobre la geometría absoluta. De Gauss ya hemos 

 hablado. Al mismo tiempo y en relación con Gauss escribió Lobat- 

 schewsky y más tarde Schweighardt ; en tiempo más moderno 

 Bolyaí, Battaglini y Frischauf. Actualmente este ramo es tratado 

 frecuentemente en los periódicos matemáticos de toda Europa. 



Entrando en el dominio propio del espacio cuatro-dimensional 



(1) El espacio absoluto se distingue del espacio cuatro-dimensional ; ya lo ve- 

 remos más tarde. 



(2) Algunas veces también llamada geometría imaginaria ó astral ó Pangeo- 

 metría. 



