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LOS FUiSDAMEMOS DE LA GEOMETRÍA 355 



pió de O tiene también que cortar Ja serie de esferas concéntricas 

 de centro O, y, si no pasa por el centro, habrá también ciertas dis- 

 tancias del centro á la superficie dada, que serán los radios de las 

 esferas de la serie tangentes á la superficie. 



Unas de ellas serán menores y otras mayores que las demás á 

 menos que sean todas iguales entre sí. 



Un punto que se encuentra sobre una línea ó una superficie está 

 á una distancia nula de la misma. 



Generación del circulo. — Consideremos una esfera S,, de centro 

 Oj, y ia serie de esferas de centro Oo. Estas cortarán la esfera ü^ en 

 una serie de líneas que resbalarán sobre sí mismas al girar la 

 figura al rededor de 0^ y de O2, que supondremos fijos. Esas líneas 

 se llaman círculos. 



Como cada esfera So envuelve las menores y está envuelta por las 

 mayores, y como dos esferas de la serie Sg no se cortan en ningún 

 punto propiOj resulta que la serie de círculos obtenidos sobre la 

 esfera S, llena toda su superficie, quedando cada uno de ellos 

 circunscrito á los que le preceden é inscrito á los que le si- 

 guen. 



Esta serie de círculos solamente puede concluir en un punto, 

 porque si concluyera en una línea c, esta sería un círculo, y ha- 

 bría en la superficie de la esfera Si puntos A separados de la serie 

 de círculos por el circulo limite: pero siempre se podría trazar 

 una esfera üo por A y ella cortaría á la 2!| en un círculo que pasa- 

 ría por A y sería interior al círculo c, á menos que, siendo infini- 

 tamente pequeño, el circulo limite c se reduzca á un punto P, en 

 cuyo caso no habrá punto A alguno distinto del circulo limite P. 



Polos de un circulo. — Como un círculo c, intersección de 2^ con 

 S2, divide la superficie de la esfera ü, en dos zonas distintas, una 

 interior y otra exterior á la esfera Ho, una de las cuales contiene el 

 punto dado A y la otra no, se ve que en cada una de estas zonas 

 debe existir un circulo limite; es decir que además del circulo limite 

 P, habrá otro P'; y al hacer girar las esferas 2} yS, al rededor de 

 los centros fijos O, y O2, los dos círculos límites P y P' se conser- 

 varán fijos. Estos últimos se reducen, por consiguiente, á dos 

 puntos y son llamados po/os déla serie de círculos. 



Se dice también que el punto P' está diametralmente opuesto á 

 P, y recíprocamente. 



