356 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Esferas tangentes. — Las esferas Sj^ j So^' de la serie H^, (fig. \ .) 

 que pasan por P y P', serán ambas tangentes á la esfera Sj, por- 

 que, por definición, solo tienen un elemento superficial infinitiva- 

 mente pequeño común con Sj ; por construcción, esta esfera se en- 

 cuentra comprendida entre aquellas dos. 



Todas las esferas Sj comprendidas entre Sgp J '^2p' cortan á S^ 

 en círculos c de polos P y P ' . 



Ninguna esfera de la serie Sg podrá cortar á la esfera Sj en pun- 

 tos reales, si es exterior á la mayor de las esferas tangentes, ó in- 

 terior á la menor de ellas. 



O2P y O2P' serán la mayor y la menor distancia de O2 á S^. 



Se comprende también que ninguna esfera de centro O2 puede 

 ser tangente á la esfera I!|, sino en los pantos P y P', y sin con- 

 fundirse con una de las dos H^p ó Sgp ' . 



Generación de la linea recta. — Dejando fijos los puntos Oj y Oo 

 (fig. 1) y haciendo variar el radio de S^ desde cero hasta la mayor 

 distancia posible, obtendremos una serie de polos P y P', que se 

 estenderán desde O2 hasta la mayor distancia posible de Oj, á am- 

 bos lados de este punto, es decir, moviéndose en sentido O2O1 los 

 unos, y en el sentido O1O2 los otros. El número de estos puntos 

 será doble del de esferas de la serie Sj. Los radios variables O2P y 

 O2P' serán las mayores y menores distancias del punto O2 á la 

 esfera variable Sj ; variarán como estas esferas, de un modo conti- 

 nuo. Los puntos P y P' describen una línea, que se llama la linea 

 recta. 



Esta línea es el camino más corto de un punto O, áotro O2. En 

 efecto, consideremos un punto P de la recta O1O2 (fig. 2); las dos 

 esferas OiP y O2P son exteriores una á otra y tangentes en P. Por 

 consiguiente, si el más corto camino de Oi á O2 no pasa por P tiene 

 que salir de la esfera Si y entrar á S2, atravesando el espacio exte- 

 rior á ambas. Sea A un punto de ese camino, exterior á las esferas; 

 sus distancias á los centros Oi y O2 serán mayores que las de estos 

 al punto P, pues aquel es exterior á ambas esferas, mientras que P 

 se encuentra sobre ellas. En consecuencia, la distancia total de Oj á 

 O2, pasando por A, será mayor que la que se obtiene pasando por 

 P, ó en otros términos, el camino más corto de Oi á O2 no puede 

 tener ningún punto que no se encuentre sobre la recta O1O2, y si un 

 punto se mueve de Oi hacia O2 recorriendo el menor camino posi- 

 ble, describirá la recta Oi O2. 



