LOS FÜINDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 357 



La linea recta posee otras propiedades muy notables: 



1" Los dos puntos Oj v Os la determinan enteramente por su 

 misma definición; 



2** Haciendo girar el sistema de las esferas, H, y So, al rededor de 

 los puntos fijos Oi y O2, sus puntos P yP' no se mueven; por 

 consiguiente esta línea gira sobre sí misma por rotación al rededor 

 de dos cualesquiera de sus puntos, porque como todos son fijos, 

 es indiferente en este movimiento suponer fijos dos de ellos arbi- 

 trariamente elegidos. 



3" Como no cambiamos nada á la figura trasportando el punto 

 Oi á O2, y recíprocamente, resulta que durante este movimiento 

 de inversión, la línea recta se superpone también á sí misma. 



4* Además, si desde dos puntos Ai y A2 arbitrariamente elegidos 

 en la recta, describimos esferas que pasen por un mismo punto D 

 de aquella, estas esferas son tangentes entre sí, y D es el punto de 

 contacto, porque haciendo girar la linea al rededor de Ai y A^, su- 

 puestos fijos, el punto ü no se mueve, y como está sobre ambas 

 esferas resulta que es su punto de contacto. Luego, la línea recta 

 es definida por dos qualesquiera de sus puntos. 



5^ Finalmente, si superponemos el punto A á un punto cual- 

 quiera A ' de la línea recta, podremos superponer B á otro B' de 

 la misma; la recta A'B' debe confundirse con la AB, porque esta 

 queda determinada por dos cualesquiera de sus puntos. 



Por consiguiente: 



La linea recta queda determinada por dos cualesquiera de sus 

 puntos, los que determinan una y nada más que una recta; es el más 

 corto camino entre ellos; y es superponible á si misma por resbala- 

 miento, rotación, inversión simple y abatimiento. 



Y recíprocamente, toda línea qufe goza de la propiedad de no 

 moverse cuando gira al rededor de dos de sus puntos supuestos 

 fijoSj es una recta ; porque si A y B son dos puntos de tal línea, 

 un punto cualquiera de esta línea será el punto ó polo de con- 

 tacto de las esferas AD y BD, pues en la rotación de estas esferas 

 al rededor de sus centros A y B, D no se mueve. 



Toda recta AB que pasa por el centro de una esfera Si, la corta 

 en dos puntos P y P ' polos de todos los círculos que, sobre Si, de- 

 terminan las esferas que tienen sus centros sobre AB. 



Cuando se hace girar un punto C al rededor de una recta AB, 

 suponiendo indeformable la figura ABC, el punto C describe un 

 círculo por la misma definición, ya dada, del círculo. 



