LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 359 



Además, una recta solo corta la esfera en dos puntos P y C. 

 En efecto, supongamos un punto móvil que se dirija de C á P, 

 siguiendo la recta CP (fig. 5). Este móvil se encontrará primero 

 más cerca de C que de P, j luego más cerca de P que de C, hasta 

 confundirse con P. Como la distancia del punto móvil M á cada 

 uno de aquellos, varía de un modo continuo, llegará un momento 

 en que se encuentre equidistante de ambos, en el medio M de la 

 recta CP. Podemos describir una esfera de centro M que contenga 

 á C y P, (porque CM = MP); esta esfera cortará á la Sj en un cír- 

 culo c, j la recta OiM cortará S, en un punto M', polo del círculo 

 c. Haciendo girar ambas esferas alrededor del diámetro OiM', el 

 círculo c resbala sobre sí mismo, y llegará un momento en que el 

 punto móvil se encuentre en la posición anterior de P; entonces P 

 estará á su vez en la posición primera de C, porque estando el seg- 

 mento de la recta MC superpuesto al segmento MP, en su posición 

 anterior, la recta entera se habrá superpuesto á sí misma por aba- 

 timiento al rededor de OjM. 



Pero en este movimiento todo punto D (fig. 6), que la recta tu- 

 viera común con la esfera Sj, además de C y P, se superpondría á 

 otro punto D ' de la recta, que se encontraría también sobre la esfera 

 Si. Tomando en seguida los medios de CD, CD', DP y D'P re- 

 sultará una multiplicación de los puntos cuyo número podrá ser 

 mayor que cualquier número dado, y estos puntos tendrán entre sí 

 distancias finitas y se alejarán siempre de P, de suerte que se po- 

 dría encontrar un punto de la recta PC, que estuviera á mayor dis- 

 tancia del punto P que P' y esto es imposible porque todo punto 

 más alejado de P que P' debe encontrarse exteriormente á la es- 

 fera Sp, y por consiguiente exterior también á la üi. 



Tampoco puede existir un punto D infinitamente cercano á C 

 sobre la esfera, porque el mismo raciocinio anterior repetido para 

 el medio de CD, infinitamente pequeño, vendría á demostrar que 

 haciendo girar la recta al rededor de OC, el punto P abatido al- 

 rededor de OD vendría de nuevo á caer sobre la misma esfera y nos 

 encontraríamos en el caso anterior. 



Se ve igualmente que una recta no puede estar comprendida 

 toda en el interior de una esfera, porque trazando una esfera tan- 

 gente exteriormente á dicha recta, se encontraría el caso anterior, 

 de que la recta tendría un punto común con la esfera y otros in- 

 teriores á ella. 



Por consiguiente: 



