360 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Toda recta que tiene un punto común ó interior á una esfera, la 

 corta en dos puntos y sólo en dos. 



Ángulos rectos. — Consideremos ahora una recta t que corta á la 

 esfera S (fig. 7) en dos puntos infinitamente cercanos P, línaite de 

 las posiciones que toma la secante PC, cuando el punto G se mue- 

 ve de modo á acercarse á P, hasta que llegue á confundirse 

 con él. 



En todo este movimiento, el punto M, medio de CP (fig. 5), sub- 

 siste, así como su proyección M ' sobre la esfera, y también el cír- 

 culo c; en el límite M' se confunde con P, y la recta t se abate 

 sobre sí misma al rededor de OP. En este abatimiento el punto A, 

 de la recta t, viene á ocupar la posición A', equidistante de P, y se 

 ve que la figura OPA se superpone á la OPA', siendo iguales los 

 ángulos en P, por el axioma (8°). 



Una recta OP que hace con otra, AA', dos ángulos, APO y A'PO, 

 iguales, se llama perpendicular á la otra, y los ángulos iguales se 

 llaman rectos. 



Consideremos otra esfera cualquiera, Sj, cuyo centro Oi esté en 

 la recta OP (fig. 8). Si la recta PA la corta en un punto C, ha- 

 ciendo girar á CA al rededor de OiP, hasta que se rebata sobre su 

 prolongación PA', encontraremos sobre esta otro punto C que 

 también formará parte de la esfera 111, porque en este movimiento 

 esta no hace más que resbalar sobre sí misma. Por consiguiente, 

 el punto C ' tiene que confundirse con C y P, porque sino la recta 

 PA cortaría á la esfera üi en tres puntos; es decir, que la tangente 

 PAáIa esfera S, es tangente á cualquier otra esfera, cuyo centro 

 esté en la recta PO, y que pase por P. 



Ahora bien, consideremos el punto O2 (fig. 9) sobre la prolonga- 

 ción de OiPy tal quePOo^POr, la esfera So, de centro O2, y de radio 

 O2P, es, por lo que precede, tangente á PA. En consecuencia los 

 ángulos OoPA' y O2PA son iguales entre sí. 



Tracemos (fig. -10) la-esfera H'2 de centro O2 y que pase por A y 

 A', y la Si ' de centro Oi, por los mismos puntos. Ellas cortan á la 

 recta O1O2 en puntos P2' y P/, que son los polos del círculo de in- 

 tersección de las dos esferas, considerados sobre cada una de ellas 

 respectivamente. Dichas esferas pueden superponerse de modo que 

 P2' caiga sobre Pi ', y O2 sobre Oi. Entonces la recta O1O2 se super- 

 pone á sí misma, y el punto P queda fijo, mientras que los puntos 

 A y A' caen en alguna parte sobre el círculo anterior c, ocupando 



