LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 361 



posiciones (A) y (A')- Haciendo girar la recta P(A) al rededor de 

 OP, el punto (A) vendrá á superponerse al A, y entonces el punto 

 (A') tendrá que coincidir con A'; y se ve que los ángulos O2PA y 

 OiPA se superponen, así como OoPA' y 0,PA'. En una palabra, los 

 cuatro ángulos formados por una recia y su perpendicular son igua- 

 les, y si una recta es perpendicular á otra, la segunda lo es también 

 á la primera. 



Se ve igualmente que, por razones de simetría, una recta per- 

 pendicular al radio de una esfera, le es tangente. 



Generación del plano. — Hagamos girar á la recta PA al rededor 

 de OP; ella permanecerá tangente á las esferas üi y Ho y á las de- 

 más de la serie OP, y describirá un haz de rectas, cuyo sosten es el 

 punto P, mientras sus puntos describirán círculos al rededor del 

 mismo. Después de una revolución entera, ella volverá á su posi- 

 ción primera y la superficie, lugar del haz y de todos los círculos 

 PA, es tangente á las esferas Di y So, y se denomina plano. 



La recta OP, que es perpendicular á todas las rectas del haz P, 

 se dice perpendicular ó normal al plano en P. 



Como podemos superponer Oi á O2, y recíprocamente, sin cambiar 

 la tangente PA, se ve que un haz plano se superpone á sí mismo 

 por abatimiento al rededor de su sosten P, y resbala sobre sí mis- 

 mo cuando se hace girar una de sus rectas al rededor de la nor- 

 mal al plano P. En el movimiento de abatimiento puede supo- 

 nerse fija cualquier recta, la AA' por ejemplo, (fig. 10) y en virtud 

 de la igualdad de los cuatro ángulos en P, tendrá que suponerse el 

 punto Oi al O2. 



P es el centro de los círculos descritos por los puntos de la recta 

 PA; las rectas que, como AA', pasan por el centro, son los diáme- 

 tros del circulo, y los puntos A y A ' están diametralmente opues- 

 tos. Dos puntos como Oi y O2 que se encuentran sobre una per- 

 pendicular á una recta AA' y equidistantes de esta, se llaman .si- 

 métricos con relación á AA' que es el eje de simetría. Se ve que 

 cada diámetro divide el círculo en dos mitades iguales, que se 

 superponen por abatimiento al rededor del diámetro, ó por res- 

 balamiento. 



En otros términos: el circulo es una figura plana, cuyos puntos 

 están todos equidistantes, ó sea simétricos, con relación al centro, 

 figura simétrica de si misma con relación al centro y á cualquier 

 diámetro. 



