362 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Recta entj'e dos puntos de un plano. — Sea A (íig. 11) un punto 

 cualquiera de un círculo c del plano P, y Ai, el punto del círculo 

 diametralmente opuesto á A. Si un punto móvil sale de A, mo- 

 viéndose hacia Al sobre el círculo c, estará primero más cerca de 

 A que de Ai, y luego, al llegar á Ai, más cerca de Ai que de A ; 

 por consiguiente, en cada uno de los dos semi-círculos determina- 

 dos por el diámetro AAi, habrá una posición del punto móvil 

 que se encontrará equidistante de A y de Ai. Sean M y Mi estas 

 dos posiciones. Como se tiene. 



"MA =K, 



MiA = MiAi' 



resultará, por adición: 



MAMi =: MAiMi; 



y, por consiguiente, se ve que ambas partes MAMi y MAiMi del 

 círculo considerado son iguales entre sí; como la suma de ellas es 

 el círculo entero, cada una de estas partes es un semi-círculo, y los 

 puntos M y Mi son diametralmente opuestos. 



Podremos abatir el semi-círculo MjAM sobre el MiAjM, al re- 

 dedor de la recta MM^; los ángulos APMi y MiPA se superponen 

 en este movimiento, y son iguales en virtud del axioma 8° ; lo mis- 

 mo sucede con los ángulos APM y MPAi. Abatiendo, al contrario, 

 el semi-círculo AMAi sobre el AMjAj, alrededor del eje AAi, se vería 

 déla misma manera, de los ángulos APM y AiPM, APMi y AiPMi son 

 iguales entre sí ; y de ello resulta que las dos rectas MMi y AAi son 

 perpendiculares entre sí, y que los cuatro ángulos en P son rectos. 



Unamos ahora, por una recta AB, el punto A con otro B, arbi- 

 trariamente elejido en el plano P ; digo que la recta AB está entera- 

 mente comprendida en el plano P. 



Supongamos, por un momento, que en la vecindad de A la recta 

 AB esté arriba del plano. Abatiendo la figura al rededor de MMi, se 

 ve que en Ai hay otra recta AiBi, que pasa por el punto Bi simé- 

 trico de B, cuya renta tendría que encontrarse debajo del plano. 

 Abatiendo al rededor de AAi, se obtendrían dos rectas más AB' y 

 AiBi', simétricas de las anteriores con relación al centro P y al eje 

 AAi, y ambas tendrían dos puntos en el plano P. Ahora bien, la 

 figura formada por los puntos A y Ai, M y Mi, B y Bi, B' y B/ es 

 enteramente simétrica con relación al punto P, así como todo el 



