LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 363 



plano, y lo es también con relación á dos ejes de simetría, que son 

 los diámetros AAi y MMi. La misma generación del plano es debida 

 á movimientos de dos esferas, idénticos en todas sus manifestacio- 

 nes ; ambas esferas son figuras esencialmente simétricas con rela- 

 ción á un diámetro normal al plano P. Por consiguiente, toda 

 razón que se pudiera dar, para probar que la recta AB está 

 arriba del plano, se podría, por simetría, aplicar á cada una de 

 las otras tres, AiBi, AB ' y AjBj ', y como las A/Bi y AB ' están debajo 

 del plano, y entre Ai y Bj, A y B' no hay más que una sola recta, 

 resulla que la AB no puede encontrarse arriba del plano. Del 

 mismo modo se demostraría que no puede encontrarse debajo, 

 por consiguiente: toda recta que tiene dos puntos en im plano, se 

 encuentra enteramente contenida en él. 



Haces de rectas en el plano. — Sea A un punto cualquiera y BC 

 (fig. 18) una recta. Unamos A por medio de rectas con todos los 

 puntos B^ Bi, Bo,... C de la BC; consideremos la recta AB como mo- 

 vible al rededor del punto A, y apoyada en la recta fija BC ; si la 

 hacemos girar al rededor de A, ocupará sucesivamente todas las 

 posiciones AB, ABj,... AC, describiendo un haz de líneas rectas, 

 con sosten en A ; estas líneas rectas serán las generatrices de una 

 superficie 11, una de cuyas trayectorias será la recta BC, y esta su- 

 perficie es un plano. En efecto, si superponemos BC auna recta B'C 

 de un plano cualquiera P, y luego hacemos girar al punto A al 

 rededor de BC como eje hasta que caiga en el plano P, todas las 

 rectas AB, ABi,... AC que forman la superficie n, tendrán dos de 

 sus puntos en el plano, y por consiguiente se encontrarán entera- 

 mente en él ; de suerte que todos los puntos de la superficie FI se 

 hallan situados en el plano P. Si ahora consideramos A como sos- 

 ten del haz generador del plano P, vemos que este haz tiene que 

 ser el mismo haz H, y que por consiguiente todos los puntos del 

 plano se hallan situados en el haz n. 



El plano P y el haz II satisfacen por consiguiente á la condición 

 de igualdad geométrica definida por el axioma 8° bis, lo que se pue- 

 de espresar diciendo que, el lugar geométrico de una recta que se 

 fnueve pasando siempre por un punto fijo y cortando una recta fija 

 es un plano, y reciprocamente. 



Se ve también que porcada punto del plano se puede trazar un 

 baz de rectas que llenará completamente el plano, y habrá tantos 

 haces de rectas en el plano como hay puntos en el mismo. 



