364 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Superposición del plano á si mismo. — Consideremos la figura 

 formada por tres puntos A, B, C, que no estén en línea recta y por 

 las rectas que las unen : el triángulo ABC (fig. 13). Los tres pun- 

 tos ABC determinan un plano P, el plano de los haces que tienen 

 sus sostenes en A, B y C, y formados por las rectas que unen estos 

 sostenes respectivamente con las rectas BC, CAyAB ; es el plano del 

 triángulo ABC, y s<i ve que tres puntos determinan un plano. 



Sea A'B' otra recta del plano P; superpongamos la recta AB á la 

 A'B', de manera que A ocupe una posición A' de esta recta, y B 

 otro B'; haciendo ahora girar al punto C al rededor de AB, ó sea de 

 A'B', hasta que se coloque en el plano P, ocupando una posición 

 C, tendremos un triángulo A'B'C igual al ABC, por el axioma 

 8°, y se ve que el triángulo A'B'C determina un cierto plano 

 P', que no es otro que el mismo P, que se ha superpuesto 

 á sí mismo por traslación y rotación, haciéndose coincidir el 

 triángulo ABC de este plano, con otro igual A'B 'C situado en el 

 mismo. 



Si, al contrario, conservando fijo A'B' y suponiendo indeforma- 

 ble el triángulo A'B'C, hacemos girar el punto C ' al rededor de 

 A'B' como eje, este punto saldrá del plano P, y luego volverá á 

 situarse en el mismo, ocupando otra posición C; se dice que los 

 dos triángulos A'B'C y A'B'C" son simétricos con relación al eje 

 B'C; se ve que el triángulo A'B'C determina un plano P" que 

 seconfunde con elP', pues ambos tienen tres puntos comunes, y el 

 triángulo ABC, se ha superpuesto al triángulo A'B'C del plano P, 

 por abatimiento, ó por inversión, al rededor del eje A'B'; es decir 

 que el plano P, se ha superpuesto á sí mismo por abatimiento ó por 

 inversión al rededor de un eje, haciéndose coincidir el triángulo 

 ABC de este plano, con otro simétrico A'B'C situado en el 

 mismo. 



De ahí se deduce: 



1° Que el plano se superpone á sí mismo por resbalamiento 

 (traslación), por rotación al rededor de uno cualquiera de sus pun- 

 tos, por inversión simple y por abatimiento; 



2° Que tres puntos determinan un plano. 



Y que, pudiendo superponerse cualquier punto A al polo P del 

 plano : 



3° Pueden describirse en un plano círculos concéntricos al re- 

 dedor de un punto cualquiera como centro. 



4° En cualquier punto del plano, se puede levantar una normal 



