LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 469 



planos P| y P.^ tuviesen un punto C común, fuera de la recta AB, 

 como tendrían tres puntos comunes no situados en línea recta, se 

 confundirían como se ha demostrado anteriormente. 



Consecuencias inmediatas de los principios anteriores . — Tales son 

 los principios de la Geometría que precede á la de Euclides. 



Con las verdades adquiridas, se puede demostrar ahora, siguien- 

 do á Euclides, todas las propiedades de la igualdad de triángulos, 

 igualdad de ángulos opuestos por el vértice y la proporcionalidad 

 de los ángulos al arco del círculo de )'adio unitario cuyo centro 

 está en el vértice del ángulo, y^ en Geometría del espacio, la igual- 

 dad y simetría de los tetraedros, de los ángulos diedros y triedros, 

 o sea, toda la Geometría esférica. 



Para darse cuenta de ello, es suficiente observar que Euclides no 

 se sirve para esas demostraciones de más propiedades que las 

 que acabamos de establecer, basadas todas en la posibilidad, ya 

 demostrada, de que se puede trasladar sobre sí mismo un plano, 

 una recta ó una esfera, sin alterar las dimensiones, ni la magnitud 

 de las figuras trazadas sobre ellas, y en la propiedad de la recta y 

 del plano de dejarse aplicar sobre sí mismo, por inversión simple, 

 en las propias condiciones. 



Luego, ellas se basan únicamente en los ocho primeros axiomas, 

 y en el axioma fundamental de que es siempre posible trasportar 

 una figura de un modo arbitrario en el espacio sin cambiar su 

 forma . 



Estos fundamentos basados en los ocho primeros axiomas, for- 

 man los elementos de la geométrica absoluta, que puede establecerse 

 desarrollando lógicamente estos elementos como lo han hecho va- 

 rios autores (i). 



Se obtiene de esta manera una ciencia abstracta y absoluta, ade- 

 cuada al estudio de todas las propiedades geométricas del espacio; 

 pero, para deducir de ella relaciones numéricas de medición, ó sea 

 propiedades métricas, es necesario fijar el valor de ciertos pará- 

 metros, como lo veremos al estudiar la teoría de la medición. Los 

 antiguos, sin darse cuenta exacta de ello, habían fijado implícita- 

 mente este valor, como lo veremos en seguida. 



(1) Véase noticia bibliográfica y el final del capítulo siguiente. 



