LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 471 



recta BE que está al mismo lado que el punto B respecto de AC ; 

 esto equivale á admitir que la recta no es una línea cerrada, loque 

 no hemos demostrado, m se puede demostrar, en virtud de que, en 

 la generación de la recta que hemos estudiado, si la distancia áque 

 se puede estender una esfera es limitada, la recta tendrá que volver 

 sobre sí misma y formar una línea cerrada. 



De todos modos, admitir que la recta no es una línea cerrada, es 

 admitir que existe una distancia á la cual nunca se puede llegar, 

 una distancia realmente infinita^ lo que es una hipótesis, ó mejor 

 dicho, un caso particular de la consideración del infinito, como vere- 

 mos al ocuparnos de su determinación. 



Si no aceptamos esta hipótesis, debemos completar el teorema 

 precedente del siguiente modo : 



Conservando fijos el lado AC (fig. 16) y la recta EB, hagamos mo- 

 ver el punto B en el sentido EB, es decir, de E hacia B ; entonces F 

 se moverá en el sentido EF, y ambos puntos ocuparán una serie 

 de posiciones simétricas con relación á E, alejándose indefinidamente 

 de este punto hasta la mayor distancia posible. 



Ahora bien, en el movimiento de los puntos B y F pueden pre- 

 sentarse tres casos distintos, que vamos á estudiar detallada- 

 mente. 



Primer caso. — Los puntos B y F no se encuentran nunca, es 

 decir, la línea recta no es cerrada, en cuyo caso el teorema es 

 siempre exacto. 



Segundo caso. — Los puntos B y F se encuentra^i auna distancia 

 infinitamente grande, es decir que la linea recta es cerrada en el 

 infinito. En este caso, en el momento de cerrarse la recta se tiene 

 (fig. 17): 



ABAC= AFCA, 



como antes, de modo que dos rectas AB y CF que se encuentran er\ 

 el infinito, forman con una transversal AC, ángulos llamados alter- 

 nos internos, que son iguales. Especialmente se ve que si la recta 

 AB es perpendicular á la AC (fig. '18), siendo recto el ángulo BAC, 

 lo será también el FCA, es decir, que ambas rectas BA y BC son 

 perpendicular á AC. Como los ángulos AEB y CBE son iguales, se- 

 rán rectos, y tomando el medio de AE y de EC, se vería que las rec- 

 tas que los unen con el punto B (en el oo) son también perpendi- 



