LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA i'^'d 



dolé una ó más vueltas completas en uno ú otro sentido, se tendrá 

 por expresión de la distancia de dos puntos en línea recta rf + 2k-, 

 en que k es un número entero cualquiera, porque saliendo de 

 uno de estos puntos se llegará siempre al mismo segundo punto, 

 cualquiera que sea el valor entero dado á k en esta expresión. En 

 una palabra : la distancia de don puntos es una función periódica 

 de su posición en una línea recta. 



TU 



Identidad del plano con una esfera de radio -• — Para ver con 



toda claridad lo que sucede en este caso, volvamos á la generación 

 misma de la línea recta. 



Sean Hj y So (fig. 20) dos esferas de mismo radio r y de centros 

 Oi y Oo tangentes entre sí en un punto P. La recta OiPOo corta 

 la esfera Hi en el punto Pi, y la üo en el punto Po, ambos 

 diametralmente opuestos á P en cada una de estas esferas. Sean 

 n, rii y rio ios pianos tangentes á estas esferas en los puntos P, Pi 

 y P2 respectivamente, cuyos planos serán perpendiculares á la 

 recta PiOiP02P2. El plano TI separa completamente las dos esferas 

 ü] y So; es decir : que no se puede pasar de Oi á Oo por ningún 

 trayecto sin atravesar el plano 11. En efecto : primeramente, es evi- 

 dente que lodo punto A ó A' (fig. 10) del plano 11 es equidistante 

 de Oi y de Oo; en segundo lugar, si unimos Oi á Oo por una línea 

 cualquiera I (fig. 21) un punto movible M, que describe esta línea 

 saliendo de Oi hacia Oo, se encontrará primeramente más cerca en 

 línea recta de Oi que de Oo, y después, al llegar áOo más cerca 

 de O2 que de Oi ; por consiguiente, habrá cuando menos una posi- 

 ción C de este móvil, en que se encuentre, equidistante de Oj y Oo; 

 es decir, que el trayecto / cortará cuando menos una vez el pía- 

 no H, 



La distancia del punto Oi (fig. 20) de los puntos Bi, P, Oo y Po, 

 son respectivamente : 



OiPi = - r 



O,? == + r 



OíOo = + 2r 



O1P2 = + 3r. 



Si hacemos crecer el radio r hasta darle el valor de un cua 

 drante^ > tendremos pues : 



