LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA 475' 



Un plano divide todo el espacio en dos partes ó regiones con- 

 gruentes; la una que es la parte ó regio7i anterior al plano, y la 

 otra la parte ó región posterior; estas dos regiones son limitadas 

 respectivamente por cada una de las caros del plano considerado, y 

 están caracterizadas por el polo de la cara que las envuelve, cuyo 

 polo se encuentra en esta región. Un polo, ó la cara correspon- 

 diente de su plano polar, determina completamente la región del 

 espacio en que se encuentra, ó que envuelve. 



Medición del ángulo de dos rectas en el plano. — Consideremos 

 (fig. 23) un plano ü, con un punto O y un ángulo AoOA„ en el 

 mismo. Desde O como centro tracemos con un radio arbitrario r 

 un círculo AoA„, que corta á los lados OAo y 0A„ del ángulo AqOA^ 

 en Ao y A„ . 



Admitimos que se sepa dividir el arco AoA,^ en N partes iguales, 

 y sean AqAj, AiA2..., A^ _ i A^ estas ?i partes, limitadas por los puntos 

 Ao, Al, Ao..., A-n' Suponiendo fijo el centro O, y separado del resto 

 del plano el arco Ao Ai con las des rectas OAo y OAi, podemos super- 

 poner AqAi á A1A2 por resbalamiento del arco AoAi sobre el círculo 

 AoA„, hasta que Ai llegue á Ao, en cuyo momento Ao se encuentra en 

 Al en virtud de la igualdad de los arcos AoAi y AiA,; podría además 

 superponerse AoAi á AjA, por abatimiento al rededor de OAi como 

 eje. De todas maneras el ángulo AoOAi se superpone en este movi- 

 miento al ángulo AiOAo ; por consiguiente estos ángulos son igua- 

 les. Del mismo modo se demostraría que los ángulos A2OA3..., 

 An - iOA,„ son todos iguales al ángulo AoOAi. 



Aislemos este ángulo del resto de la figura, trasportándolo en 

 BoO'Bi. 



Si consideramos este ánguio como unidad de ángulo, el radio 

 O 'Bo = OAo como unidad de distancia en linea recta, y el arco BqBi 

 como unidad de longitud de arco en el círculo de radio O'Bo, ve- 

 mos que la unidad de ángulo está comprendida en un ángulo 

 dado, el mismo número de veces que el arco unitario en el arco 

 (de mismo radio) comprendido entre los lados del ángulo consi- 

 derado; ó en otras palabras el número que resulta de la medición 

 de un ángulo, es el mismo que resulta de la medición del arco com- 

 prendido entre sus lados, si se toma como unidad de ángulo, el que 

 comprende entre sus lados la unidad de arco. 



Planos normales entre si. — Llamemos H la esfera descrita de O 



