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 d'où il suit que, pour le cas de r = oc, on satisfait à l'équation/^ (>,.?) = o 

 au moyen des valeurs de 5 données par les formules (8), et à l'équation 



î 



(i — i 3 _) T y B _ I (r, s) = o, ou, ce qui revient au même, aux deux sui- 



vantes ( i — s 2 ) 7 = o,f a - l (r, s) = o, par les valeurs (9) et (10); savoir, 



à l'équation ( 1 — s 2 y- = o par les valeurs (103 seulement, età l'équation 

 Jn-i ('', s) =0 par les valeurs (9). Ou doit en conclure ( lemme 2 ) 

 que, pour de très-grandes valeurs de r supérieures à une certaine limite 

 "R, les équations (6) résolues par rapport à s doivent respectivement 

 fournir, la première n racines réelles très-peu différentes des valeurs (8), 

 et la seconde n — 1 racines réelles très-peu différentes des valeurs (9). 



Supposons maintenant que dans les équations (6) r vienne à décroître 

 par degrés insensibles depuis 7==R jusqu'à r=o.Il arrivera de deux choses 

 l'une. Ou , dans cet intervalle , les 2 n — 1 valeurs réelles de s qui servent 

 de racines aux équations (6) , et qui varient avec r par degrés insensibles, 

 subsisteront toujours sans se confondre, et sans que l'ordre de leurs gran- 

 deurs respectives soit jamais altéré; ou quelques unes de ces valeurs, 

 d'abord différentes, deviendront égales entre elles. Il est inutile de consi- 

 dérer séparément le cas où quelques racines réelles finiraient par dis- 

 paraître soit dans l'une soit dans l'autre des équations (6)3 parce qu'en 

 faisant l'application du lemme 2 à ces mêmes équations, on reconnaît 

 sans peine que le cas particulier dont il s'agit rentre dans la seconde des 

 deux hypothèses qu'on vient de faire. De plus il est facile de voir que la 

 première hypothèse est inadmissible. Eh effet, a n ne pouvant être nul , 

 puisque l'équation (1) est supposée n'avoir pas de racines réelles, on ne 

 saurait évidemment, pour de très-petites valeurs de r, satisfaire à la pre- 

 mière des équations (6),- ou, ce qui revient au même, à. la première des 

 équations (%), par des valeurs de ,s=cos.cp comprises entre les limites ± 1. 

 D'ailleurs, tant que la première des équations (6) conserve n racines 

 réelles inégales, comme ces racines varient avec r par degrés insensibles, 

 aucune d'elles ne peut dépasser les limites ± 1 , sans avoir préalable- 

 ment atteint ces naêmës ; limites 3 et d'autre part, si, pour une certaine 

 valeur de r, on pouvait satisfaire à l'équation J u (r,.sj = o en supposant 

 5=cos.cp = ±:i, la même valeur de r vérifierait la première équation (5) 

 réduite par cette supposition à 



n n — 1 u ■ — 2 



r\~krzir -fa?- dr . . . . ■ dr a r -f a — o , 



1 2 . " n — 1 n 



et l'équation (1) aurait une racine réelle égale, au signe près, à cette va- 

 leur. Donc, puisque l'équation (1} n'a pas de racines réelles, ou peut 

 assurer que, pour de très-petites valeurs de r, la première des équations 

 (6) résolue par rapport à 5 n'aura plus déracines réelles, non-seulement 

 entre les limites s— dr i, mais même hors de ces limites. La seconde des- 



