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équation pour de très-petites valeurs de — inférieures à une certaine li- 

 mite a, ou , ce qui revient au môme , pour de très-grandes valeurs de x su- 

 périeures à la limite — , admettra autant de racines réelles fort peu dif- 

 férentes des premières. 



Lorsque l'équation f'(x,y) = o est du degré n par rapport ky, elle ne 

 sauroit admettre y. racines réelles différentes de valeurs, que dans le cas 

 où elle n'a pas de racines égales. Si donc, pour x = : a, elle a en effet n 

 racines réelles différentes ; et qu'en faisant varier x par degrés insensibles, 

 on finisse par faire disparaître une ou plusieurs de ces racines; puisque 

 dans l'intervalle ces racines elles-mêmes varieront par degrés insen- 

 sibles, sans qu'aucune puisse disparaître avant que l'équation n'acquierre 

 des ratines égales, il est clair que dans le même intervalle une certaine 

 valeur de x aura déterminé une réduction dans le nombre des racines 

 réelles, en amenant l'égalité de deux ou de plusieurs d'enlr'elles. 



Venons maintenant à la démonstration du théorème premier. 



Démonstration. Si dans les équations (5) ou fait cos. <p = s , elle pren- 

 dront la forme 



(5) {'<-< 



f a (r, s),Jl—t (r, s), désignant deux fonctions rationnelles et entières de 



ret des, l'une du degré n, l'autre du degré n — 1 3 et il suffira évidemment 

 de prouver que, dans le cas où l'équation (1) n'a pas de racines réelles., 

 on peut satisfaire aux deux suivantes 



fn{r,s) = 0, 



1 



^)Vn_lO, *) = o, 



(6) |./n(0 5)==0, 



(r, s) == o, 



par un même système de valeurs réelles de r et àetp, ou , ce qui revient 

 au même de r et de s, s = cos. <p étant compris entre-les limites zh 1. Or. 

 la supposition 7-= co réduit les équalious (5j à celles-ci : 



, s ( cos. 7?cp = o, 



' \ sin. 77 <p = o. 



Ces dernières fournissent î-espectivement pour cos. <p =5, la première n 

 racines réeiles inégales, savoir, 



, ON ît 3a- (211 — 5W hn — iVsr 

 (Oj 5 = C0S. — rj .? — cos.-- S="C0S.- — — -, .s:=eos. ^ — ; 



' 2TO 2 '2 2 11 2.11 



et la seconde n — 1 racines réelles pareillement inégales, savoir, 

 /N t 2 W (n — 1 ) * 



(o) 5 = COS. , S == COS. — S — COS. — , 



indépendamment des deux valeurs comprises dans la formule 

 (10) s = ± 1 : 



