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suite les signes des deux fonctions f (b + v),f(b — v) finiront par être 

 respectivement égaux à ceux des quantités -f ~Bv 3 — B v. Donc, etc. 



Lemme II e . Si f ( x, y ) = o désigne une fonction rationnelle et entière 

 d'x et d'y, et que pour une certaine -valeur de x l'équation f (x, y) = o 

 résolue par rapport à y fournisse plusieurs racines réelles inégales j 

 x venant à croître ou à décroître par degrés insensibles , les racines 

 réelles de l'équation varieront elles-mêmes par degrés insensibles, sans 

 qu'aucune d'elles puisse disparaître , à moins que préalablement l'équa- 

 tion nacquierre cIjs racines égales. 



En effet supposons que, pour x = a^ l'équation f(x, y) =o admette 

 plusieurs racines réelles inégales dont l'une soit y = b. On pourra 

 (lemme premier) assigner à £ une valeur assez petite, pour que, 2^ étant 

 égal ou inférieur à Q sans être nul , l'une des deux quantités^/ (a, b -f v) 

 fia, b — v ) soit constamment positive et l'autre constamment négative* 

 De plus, v ayant une semblable valeur, ou pourra toujours attribuer à 

 a. une autre valeur assez petite, pour que, u étant égal ou inférieur à a, 

 les trois quantités 



f(a — u,b + v), f(a,b + v), f( a + u,b—v) 



soient de même signe, et qu'il en soit encore de même des trois suivantes 

 f(a — u,b — v), f{a,b—v), f(a + u,b—v). 



Cela posé, il est clair 1°. quef(a — u, b-\-v) e\f( a — u, b — v) seront 

 de signes contraires; 2 . quef( a-\-u, b + v ) etf(a + u, b — v) seront 

 également de signes contraires; d'où il suit que, u étant égal ou inférieur 

 à Wj chacune des équations 



f(a — u,y) = o, f(a + u , y) = o, 



résolue par rapport à y, fournira une racine réelle comprise entre les 

 limitesy = & — v : y==i>-\-v. Ainsi, rayant une valeur très-petite, pourvu 

 qu'elle soit inférieure à £, on peut assigner à a une valeur telle que, x 

 venant à croître depuis a jusqu'à a-j-ct, ou à décroître depuis a jusqu'à 

 a — a, l'équationy(.x ;) j)'-)=o, résolue par rapport àj, conserve toujours 

 une racine réelle comprise entre les limites b — v,b-\-v, c'est-à-dire, 

 une racine qui ne diffère pas sensiblement de b; ce qui suffit pour 

 établir le lemme énoncé- 



Comme on n'altère pas la forme de l'équationy'(.c, y) = , eny chan- 

 geant x en — , on doit en conclure que le lemme 2 subsiste dans le 

 cas même où la valeur de x représentée par a devient infinie; et l'on 

 peut assurer que, si pour — =0, ou ^=00, réquationy"(.r ; jj\) = o réso- 

 lue par rapport à y fournit plusieurs racines réelles et inégales, la même- 



