BULLETIN DES SCIENCES 



PAR 



LA SOCIÉTÉ PHILOMATIQUE 



? iB'17,. 







DE PARIS. 



Sur les racines imaginaires des équations ; par A. L. Cauchy. 



Je me suis proposé d'établir, par une démonstration directe et simple, Mathématique. 

 la proposition qui sert de base à la théorie des racines imaginaires, et 

 qu'on peut énoncer comme il suit : Académie Royale des 



Théorème I". Si l'équation Sciences., 



n n — i n_2 i3 décembre 181G. 



(i) x + a x + a x -f -f a x + a = o 



I 2 n — I 



n'a pas de racine réelle, on pourra toujours y satisfaire en prenant pour 

 x une expression de la forme, 



(2) x = r (cos. <p zb y/ _ 1 sin. <p; 



oz/, e/z d'autres termes, on pourra trouver pour r <?/ <p zzzz système de 

 valeurs réelles qui vérifient en même temps les deux équations 



/• cos.zzcp + a r cos.(/z— i)<p + + a rcos.<p-fa = G 



1 n-x 



r sin.zzcp-f-a r sm. (zz— i) <p + -fa rsin.p = o. 



1 n — t 



La démonstration de ce théorème est fondée sur les deux lemmes 

 suivants : 



Lemme 1er. foit f (y) .= o une équation dont y = b représente 

 une racine réelle, mais qui ait une seule racine égale à b, on pourra 

 toujours attribuera 6 une valeur assez petite, pour que, v étant égal ou 

 inférieur à €, l'une des deux fonctions f ( b + vj, f (b — v ) 5 oz.Y cotzs- 

 tamment positive, et l'autre constamment négative. 



En effet, puisque/(A) = o, si l'on développe /( idbz/) suivant les 

 puissances ascendantes de v, on aura une équation de la forme 



(4) f(b± v)=±Bv+C /±D^ + ...=±B^(izb^4-...) 



B n'étant pas nul , attendu qu'on suppose une seule racine égale à b. Or , v 

 venant à décroître, le signe du second membre de l'équation (4) finira 

 par dépendre uniquement du signe de son premier terme ± Bv; et par 

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