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Sur une loi de réciprocité qui existe entre certaines fonctions ; 



par A. L. Cauchy. 



Nous avons établi, dans notre Mémoire sur la théorie des. ondes, Mathématiques. 

 certaines formules que M. Poisson a également obtenues de son 

 côté, et desquelles il résulte que, si deux fonctions respectivement 

 désignées par les caractéristiques/' et <p satisfont à l'équation 



(i) j\r x ) — ^±y f<p O) cos. 0*)<*/*[*Z°', 



l'intégrale étant prise entre les limites p. = o, /* r= co , la même équa- 

 tion subsistera encore, lorsqu'on y remplacera la forfiction f par la 

 fonction <p et la fonction <p par la fonction f. De même, si l'on désigne 

 par y et -\, deux fonctions qui vérifient l'équation 



(2) f(x)=(^y f^(p)sin.(px)dfi \^~° w 



cette équation subsistera encore après l'échange de la fonction f contre 

 la fonction -\>, et de la fonction -\, coutre la fonction f. On voit donc 

 ici se manifester une loi de réciprocité, i° entre les fonctions f et <p 

 qui satisfont à l'équation (1); 2 entre les équations/et *\, qui satisfont 

 à l'équation (2). Nous désignerons pour cette raison les fonctions/ (x), 

 <p (~x) sous le nom de fonctions réciproques de première espèce, et les 

 fonctions / (x), -^ (x) sous le nom de fonctions réciproques de seconde 

 espèce. Ces deux espèces de fonctions peuvent être employées avec 

 avantage pour la solution d'un grand nombre de problèmes, et jouissent 

 de propriétés remarquables que nous nous proposons ici de faire 

 connaître. 



D'abord, en différentiant plusieurs fois de suite par rapport à x 

 l'équation (1), on reconnaîtra facilement que, si 



f (x) et <p (x) 



sont deux fonctions réciproques de première espèce, 

 f" (x) et — x*ç (x) 



seront encore deux fonctions réciproques de première espèce , et 

 qu'il en sera de même des fonctions 



f" (x) et x< <p (x), 



f rt (x) et — x 6 p (x) 

 etc. 

 Au contraire, 



f'(x)etx(p (x), 



f" (x) et — x' <p (x) 

 etc. 

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