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seront des fonctions réciproques de seconde espèce. On arriverait k 

 des conclusions analogues en difîérèntiant plusieurs fois de suite par 

 rapport à x les deux membres de l'équation (2). 

 On reconnaîtra avec la même facilité que, si 



f(x) et ? ( x) 

 sont deux fonctions réciproques de première espèce , la fonction 



tp (x) cos. (k x) 

 aura pour réciproque de première espèce # 



l[/C*+;i.) +f(k-x)] 



foutes les fois que k sera plus grand que x, et 



dans le cas contraire, tandis que la fonction 



<p (x) sin. k x 

 aura pour réciproque de seconde espèce 



dans la première hypothèse, et 



dans la seconde. Les diverses propositions ci-dessus énoncées suppo- 

 sent les quantités k et x positives ; mais il est facile de voir les modifi- 

 cations qu'on devrait y apporter, six et k devenaient négatives. (*) 



Les principaux usages, auxquels on peut employer les fonctions ré- 

 ciproques, sont les suivants : 



i° Elles servent a la détermination des intégrales définies. Ainsi, par 

 exemple, comme on a entre les limites /4 = o ; ^ = 00 , 



r * cos. 0* x) dfJL sa zrrz* •> 



fi 

 fi 



r' -j- x : 



sin. (jax) di* = ^-i, 



on en conclut que 



— r x 

 e 



a pour fonction réciproque de première espèce 



G)"' 



r'+X* 



(*) On peut remarquer encore, que si y (x) et x (x) sont deux fonctions réci- 

 proques de première ou de seconde espèce, k f (x) et k x (^) seront réciproques 

 de même espèce, k étant une constante prise à volonté. 



