eus-) 



et pour fonction réciproque de seconde espèce ■■* ° 1 7: 



par suite les deux intégrales 



- cos. (fA x) d [A 



fi 





+<«- 3 r/^ = o 



r^ sin. (/a x) /a 

 doivent Être l'une et l'autre égales à 



■x — r x 

 —e 



2 



J 



ce qui est effectivement exact. On déduit immédiatement de considéra- 

 tions analogues la formule qui sert à convertir les différences finies 

 de puissances positives en intégrales définies. 



2° Les fonctions réciproques peuvent servir à transformer les inté- 

 grales aux différences finies, et les sommes des séries, lorsque la loi 

 de leurs termes est connue, en intégrales définies. En effet, à l'aide des 

 fonctions réciproques, on peut remplacer une fonction quelconque/ (x) 

 de la variable x par la fonction cos. {(ax) ou sin. (/a x) placée sous un 

 signe d'intégration définie relatif à la variable^; et comme on peut ob- 

 tenir facilement l'intégrale de cos..(/* x) ou sin. (/s* x) par rapport à x en 

 différences finies, et que les deux espèces d'intégration sont indépendantes, 

 il est clair qu'il sera facile de transformer une intégrale aux différences 

 en intégrale définie. ]1 est bon de remarquer, qu'au lieu de chercher la 

 valeur dey' (a;) en intégrale définie , on peut calculer d'abord celle de 



— kx 

 e J(x) 



Je étant une constante arbitraire, et multiplier l'intégrale trouvée par 

 e kx . Celte obsesvation suffit pour lever plusieurs objections que l'on 

 pourrait faire contre la méthode, dans le cas où la fonctiony" (.r) devien- 

 drait infinie pour des valeurs réelles de x. 

 De même, si l'on désigne par 



le terme général d'une série, f(ri) étant une fonction quelconque de 

 l'indice 72, on ramènera, par le moyen des fonctions réciproques, la 

 sommation de la série en question à celle d'un autre qui aurait pour 

 terme général 



z cos. {/a n) 



et qui est évidemment sommable. 



