( 124) 



Dans îe cas particulier où l'on suppose z= i , on peut appliquer h 

 la formule trouvée la théorie des intégrales singulières, et l'on en dé- 

 duit alors la proposition suivante. 



Désignons par a et b deux nombres dont le produit soit égal à la cir- 

 conférence du cercle quia pour rayon l'unité; soient de plusy et <p deux 

 fonctions réciproques de première espèce, et formons les deux séries 

 i/'(o) +f(a) + f(?a) + etc. 

 7»(o) + ?(ô) + <p(2b)+ etc. 



Le produit de la première série par a * sera égal à celui de la se- 



i 



conde par b z . La première série sera donc sommable, toutes les fois 



que la seconde le sera, et réciproquement. Cette proposition nouvelle 



nous paraît digne d'être remarquée. Elle conduit immédiatement à la 



sommation des séries qu'Euler a traitées dans son introduction à l'analyse 



des infiniinens petits, et à celle de plusieurs autres qui renferment les 



x » 



premières. Le cas particulier, où l'on prend y" (x)=: e , offre une 



série très-régulière et très-simple dont le terme général est de la forme 

 a~- e , et dont la somme reste la même lorsqu'on y remplace a par—, 



5°. Les fonctions réciproques peuvent encore servir à l'intégration des 

 équations linéaires aux différences partielles à coefficiens constans , 

 ainsi que je l'ai fait voir dans mon Mémoire sur la théorie des ondes. 



Telles sont les principales propriétés des fonctions réciproques. Peut- 

 être, à raison des nombreuses applications qu'on en peut faire, jugera- 

 t-on qu'elles peuvent mériter quelque intérêt. 



Extrait d'une lettre de M. Gardent, sur une eau minérale assez 



remarquable. 



n„i, ,r Dn„= nn i. Cette eau a été apportée en Angleterre ; elle vient d'une île 

 Juillet 1817. appelée 1 j Le- Blanche, près des cotes de la nouvelle Zelanue. 



Elle sort d'un lac considérable et forme un petit ruisseau qui coule 

 dans la mer. Sa température , lorsqu'on la puisa , était beaucoup 

 au-dessus de celle de l'atmosphère. 



Elle est d'un vert pâle, tirant sur le jaune. Elle a une odeur qui 

 ressemble à celle d'un mélange d'acide muriatique et d'acide sulfu- 

 reux.. Sa saveur est très-acide, et un peu stiptique comme une dis- 

 solution de fer un peu faible. Sa pesanteur spécifique = 1,073. 



M. Garden croit devoir conclure de l'action des réactifs sur cette 

 même eau, et d'une analyse faite à la hâte, qu'elle est composée prin- 

 cipalement d'acide muriatique, avec une légère trace de soufre, un 

 peu d'alun, de nuiriate de fer, de sulfate de fer probablement, et de 

 sulfate de chaux. 



«*^». ■% **^f\ 1^/V\ 'VUViW»-* wv» - 



