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Cest le cinquième des phénomènes de ce genre qui se sont manifestés 10 1J. 



depuis trois ans. Quelques-uns des premiers furent plus remarquables, 

 mais l'éclat de celui-ci fut beaucoup diminué par la lumière de la lune. 



Seconde Note sur les racines imaginaires des équations ; par 



A. L. Cauchy. 



Qu'il soit toujours possible de décomposer un polynôme en Mathématiques. 

 facteurs réels du premier et du second degré; ou, en d'autres termes, 

 que toute équation, dont le premier membre est une fonction ration- 

 nelle et entière de la variable x, puisse toujours être vérifiée par des 

 valeurs réelles ou imaginaires de cette variable: c'est une proposi- 

 tion que l'on a déjà prouvée de plusieurs manières. MM. Lagrange, 

 Laplace et Gauss ont employé diverses méthodes pour l'établir ; et 

 j'en ai moi-même donné une démonstration fondée sur des considé- 

 rations analogues à celles dont M. Gauss a fait usage. Quoi qu'il en 

 soit, dans chacune des méthodes que je viens de citer, on fait une 

 attention spéciale au degré de l'équation donnée, et quelquefois même 

 on remonte de cette dernière à d'autres équations d'un degré supé- 

 rieur. Ces considérations m ayant paru étrangères à la question, j'ai 

 pensé que le théorème dont il s'agit dépendait uniquement de la forme 

 des deux fonctions réelles que produit la substitution d'une valeur 

 imaginaire de la variable dans un polynôme quelconque; et j'ai été 

 assez heureux, en suivant cette idée, pour arriver à une démonstra- 

 tion qui semble aussi directe et aussi simple qu'on puisse le désirer. 

 Je vais ici l'exposer en peu de mots. 



Soit f (x) un polynôme quelconque en x. Si l'on y substitue pour 

 x une valeur imaginaire u -f- v \/ — i , on aura 



(0 f( u + vv /-i)=p + Qy/-i, 



P et Q étant deux fonctions réelles de u et v. De plus, si l'on fait 



(2) P + QZ-i =R(CosT+t/— isin.T), 



E. sera ce qu'on appelle le module de l'expression imaginaire 



P + Q V- 1 ; 

 et sa valeur sera donnée par l'équation 



(3) R' = P' + Q\ 



Cela posé , le théorème à démontrer , c'est que l'on pourra toujours 

 satisfaire par des valeurs réelles de u et de v aux deux équations 



P = o, Q = o; 

 ou, ce qui revient au même, à l'équation unique 



R = o. 

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