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 Il importe donc de savoir quelles sont les diverses valeurs que peuf 

 recevoir la fonction R , et comment cette fonction varie avec u et v. 

 On y parviendra, comme il suit. 



Supposons que les quantités u et v obtiennent à la fois les accrois- 

 sements h et k, et soient AP, AQ, AR, les accroissemens correspon- 

 dants de P, Q, R. Les équations (5) et (1) deviendront respectivement 

 (4) ' (R + AR)* = (P + AP)*+(Q+AQ)* 



!P+ AP+ CQ + AQ) y/— x = f(u + v\/-i +h+kyS— i) 

 =/(«+ vV— i) + (h + k V- <)/(" + v V- r) 

 + (h + k^-jy'f,(u + v V- O +etc... 



f\, Jl etc désignant de nouvelles fonctions. Pour déduire de 



'l'équation (5) les valeurs de P + AP et de Q + AQ , il suffit de rame- 

 ner le second membre à la forme p + q V — !■ C'est ce que l'on fera 

 en substituant hf (u + v »/— i) sa valeur R (cos T -f V— isin.T), 

 et posant en outre 



h + k \/— i = p (cos -j- )/— i sin. 9) 

 f i (u+W / -i) = B. 1 (cos. T, + V— i sin. T,) 

 /, (« + » •- i ) = R. ( cos - T 2 + î/- i sin. TJ . 

 etc. . . . 

 Après les réductions effectuées, l'équation (5) deviendra 

 f P+AP + (Q + AQ) V— i = Rcos.T + R 1 pcos. ( T, + 9) 

 (6) 1 + R,p*cos.(T s + 26) + etc. 



[ + [R siri.T + R, p sin. (T, + 9) + R,p 2 sin. (T, + 2 9) + ...] j/_ 1 

 et l'on en conclura 



P+AP =Rcos. T + R, ? cos. (T, + 9) + R, f cos. (T,+ 2 9) +... 

 Q + AQ = Rsin.T -f R,p sin. (T,+ 9) + R,p* sin. (TY+ afl, +... 

 f(R + AR)>=[Rcos.T + R^cos.fT, + 9, + B af 'cos. (T, + 2 9) + ...]• 

 ^ l +[Rsin.T + R I psin.(T I + 9)+R lP =sin. l T 2 +29) + ...] 3 



Su[>posons maintenant que, pour certaines valeurs attribuées aux va- 

 riables m et v , l'équation 



R=o 



ne soit pas satisfaite. Si dans cette hypothèse R , n'est pas nul , le 

 second membre de l'équation (8) ordonné suivant les puissances ascen- 

 dantes de p deviendra 



R 3 + 2RR 3 pcos(T\ — T + 0) + etc....; 

 et par suite la quantité 



(R+AR)'-R' V 



(7){ 



