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ou, l'accroissement de R* ordonné suivant les puissances ascendantes 1817, 



de p aura pour premier terme 



2 R R , f cos (T , — T + 9). 



Si dans la même hypothèse R, était nul, sans que R, le fût, l'ac- 

 croissement de Pi 2 aurait pour premier terme 



2 RR 2 p/cos(T 2 -T+ 2 0), 

 etc.... Enfin ce premier terme deviendrait 



2RR n P n eos(T n — T -f n 9), 

 si pour les valeurs données de u et v toutes les quantités R , R 2 . . . . 

 s'évanouissaient jusqu'à R „_, inclusivement. D'ailleurs, si l'on attri- 

 bue à /> des valeurs positives très-petites, et à 9 des valeurs quelcon- 

 ques, ou, ce qui revient au. même , si l'on attribue aux quantités h et 

 k des valeurs numériques très-petites ; l'accroissement de R a , savoir, 

 ( R -f A R ) * — R * , sera de même signé que son premier terme repré- 

 senté généralement par le produit 



(9) aR B.p" cos. (T n -T -fwfl): 



et , comme la valeur de fl étant arbitraire , on peut en disposer de 

 manière à rendre cos. (T„ — T -f «0), c'est-à-dire, le dernier facteur 

 du produit (9), et par suite le produit lui-même, ou positif ou négatif; 

 il en résulte que, dans le cas où des valeurs particulières attribuées 

 aux variables u et v ne vérifient pas l'équation R = o, la valeur corres- 

 pondante de R' ne peut être ni un maximum, ni un minimum. Donc, 

 si l'on peut s'assurer à priori que R s admet une valeur minimum, on 

 devra en conclure que celte valeur est nulle, et qu'il est possible 

 de satisfaire à l'équation R = o. 



Or R * admettra évidemment un minimum correspondant à des 

 valeurs finies de u et de v, si, pour de très-grandes valeurs numéri- 

 ques de ces mêmes variables, R ' finit par devenir supérieure à toute 

 quantité donnée. D'ailleurs, si l'on fait 



u + v y / — 1 = r (cos. z -f y/ — 1 sin. z); 



à de très -grandes valeurs numériques de 11 et v correspondront de 

 très-grandes valeurs de r, et réciproquement. Donc, pour que l'on puisse 

 satisfaire à l'équation R=o par des valeurs réelles et finies des va- 

 riables u et v, il est nécessaire et il suffit que la quantité R 3 déter- 

 minée par les équations 



f n\ l R*=P' + Q* 



Qioj \p+Q/_j =/[r(cos. z + ]/— ism.z)] 



finisse par devenir constamment, pour de très-grandes valeurs de r, 

 supérieure à tout nombre donné. 



La conclusion précédente subsiste également, que la fonction^ (x) 

 soit entière ou non. Elle exige seulement que R et O soient des 



