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l'intégrale complète d'une équation aux din t érences"'partielles de Fordi'e 1 8 l 7 



quelconque n , pouvait être quelquefois moindre que n ; j'ai aussi 

 montré que si l'on développe cette intégrale suivant les puissances de 

 l'une des variables, ce nombre sera différent selon la variable que l'on 

 aura choisie 3 maintenant j'ajouterai, pour compléter ces remarques, 

 que l'on peut choisir la variable de manière que le développement de 

 l'intégrale ne contienne plus aucune fonction arbitraire, et qu'il ne 

 s'y trouve que des constantes arbitraires en nombre infini. L'exemple 

 suivant suffira pour le prouver. 



Prenons, comme dans le Mémoire cité, l'équation 



dz d' z 



co 



dy cJx* 



et supposons qu'on veuille développer son intégrale suivant les puis- 



sauces de l'exponentielle e , dont la base est celle des logarithmes 

 népériens. Soit pour cela 



e = t; 



Féquation (1) devient 



dz d'z , , 



dt dj» v ' 



Or , quelle que soit la valeur de z en fonctioe de tel de x qui satisfait 

 à cette équation , on peut toujours la concevoir développée suivant 

 les puissances de /, et la représenter par la série 



z = Xi'+X'r' + X" F" + etc., 

 dans lesquelles les coefficiens et les exposans sont indéterminés. Substi- 

 tuons-la donc dans les deux membres de l'équation (2)3 égalant 

 ensuite de part et d'autre les termes semblables, on trouve que tous 

 les exposans restent des constantes arbitraires, et que les coefficiens 

 se déterminent en fonctions de x, indépendamment les uns des autres 

 et par des équations de cette forme : 

 d'X 



-— = 772 X. 

 dx l 



En intégrant, on a 



A et B étant deux constantes arbitraires, les expressions de tous les 

 autres coefficiens seraient semblables ; par conséquent ou aura pour 

 l'intégrale complète de l'équation (2) , développée suivant les puis- 

 sances de / ; 



m x i/m , _ _ m — x \/m 



z = H«r + 2 B 2 e ; 



les caractéristiques 2 désignant des sommes qui s'étendent à toutes les 

 valeurs possibles, réelles ou imaginaires de A, B et m; et l'on peut 



