( i«a ) 

 remarquer qne si l'on met ni* à la place de m, les deux sommes se 

 réduiront à une seule, savoir: 



_, , m' m x 



z = 2 A* e 



Celte expression ne renferme explicitement aucune fonction arbi- 



y 

 traire ; en y remettant e à la place de t, nous aurons de même 



Z = U/ J + "' (5) 



pour l'intégrale complète de l'équation (i) sans fonction arbitraire. 

 Ainsi cette intégrale développée suivant les puissances de y ne ren- 

 ferme qu'une seule fonction arbitraire ; suivant les puissances de x } 



• 'Y OC 



elle en contient deux; et suivant les puissances de e ou de e , elle 

 n'en renferme plus aucune. Au moyen des intégrales définies , on par- 

 vient à sommer ces diverses séries , et l'on obtient toujours la même 

 intégrale sous forme finie , contenant une seule fonction arbitraire. C'est 

 ce que M. Laplace a fait voir relativement aux deux premiers dévelop- 

 pemeus. ( *) Quant à la série (3) , ou a., d'après une formule connue . 



m' y i /? — a 1 2 a. m t/y 7 



e •' — -—le e a a,: 



l'intégrale étant prise depuis a. = jusqu'à a. = + — > et <rc dési- 

 gnant le rapport de la circonférence au diamètre; cette série deviendra 

 donc 



m ( X -f- 2 a. ï/V ) \ — «* 7 



or, si l'on fait 



-m 



2A* 



2 A e =z<px, 



<p x sera une fonction arbitraire de x, et l'on aura de même 



2A 



d'où l'on conclut 



2Ae l T •/ = cp (x + 2 a »/r); 



= 7if e 



q> (x -f 2 a \/y) da; 



ce qui est effectivement, sous forme finie , l'intégrale complète de 

 l'équation (i). 



En général^ les équations aux différences partielles, linéaires et à 

 coefficiens constans, peuvent être satisfaites par des intégrales com- 

 posées d'une infinité d'exponentielles; jusqu'ici l'on n'a pas fixé, d'une 

 manière satisfaisante, le degré de généralité de ces sortes d'expres- 



(*) Journal de l'École polytechnique, i5 e cahier, page 218. 



