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Note sur l'intégration d'une classe particulière d'équations 

 différentielles ; par A. L. Cauchy. 



l8l8. 



On sait que l'on regarde l'équation différentielle Mathématiques. 



(1) dy — f{x,j) dx = o — 



comme intégrée, lorsqu'on a trouvé un facteur propre à convertir b Acade ™'f Royale 



l 1 «1 1 .• tn-' i- 11 t-w des Sciences» 



premier membre de cette équation en une diilerentieue exacte. JJe 



plus il est facile de voir que 



Pdy—Qdx et Fdx + Q dy 



seront des différentielles complètes, si P et Q désignent deux fonc- 

 tions réelles d'à; et dy liées entre elles par une équation de la forme 



(2) f(*+jr/-i) = P-Ql/-L 

 On aura en effet dans cette hypothèse 



d? dQ . . , , . . dP . dQ 



dy dy N \ ' c/x tfx 



et par suite 



JP dQ dP d( — Q) 



dy dx dx d, y 



Il est aisé d'en conclure que si l'on pouvait satisfaire à la condition 



P 



( 3 ) J( x >y) = -jr> ou bieQ à la suivante f(x, y) == — ~ , 



par des valeurs de P et de Q propres à vérifier en même temps une. 

 équation semblable à la formule (2); P, ou Q, serait un facteur 

 propre à rendre iutégrable l'équation différentielle donnée. Il importe 

 donc de savoir dans quel cas ou pourra satisfaire aux conditions dont 

 il s'agit, et comment on déterminera dans cette hypothèse la valeur 

 de P , ou celle de Q. 



Observons d'abord que si dans l'équation (2) on fait y = o, ou 

 en conclura 



P = <p(x), Q = o. 



Par suite on ne pourra satisfaire à la première des conditions (3) que 

 dans le cas où l'on aurait 



(4) J{x, o) = o, 



et à la seconde que dans le cas où l'on aurait 



(5) f(x, o) =. 00, 



Cela posé, concevons que l'on trouve effectivement/ (x, o ) = 0. 

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