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des équations numériques, remarque (i) que celte question a d'autant, 

 plus de difficulté, que la condition qui doit rendre l'approximation 

 exacte, dépend des valeurs de toutes les racines inconnues. 



On voit donc qu'il est nécessaire d'assigner un caractère certain, 

 d'après lequel on puisse toujours distinguer si les limites sont assez 

 voisines pour que l'application de la règle donne nécessairement des 

 résultats convergens. 



3JI. De plus , la méthode dont il s'agit fournit seulement des valeurs très- 



peu- différentes de la racine; mais elle ne donne point la mesure du 

 degré de l'approximation , c'est-à-dire, qu'en exprimant le résultat en 

 chiffres décimaux , on ignore combien il y a de ces chiffres qui sont 

 exacts, et quels sont les derniers que l'on doit omettre comme n'appar- 

 tenant point à la racine. 



On peut se former une idée du degré de l'approximation en ayant 

 égard à la valeur de la quantité que l'on néglige, lorsqu'on omet les 

 puissances supérieures de la nouvelle inconnue. Mais cet examen 

 suppose beaucoup d'attention, et si l'on cherche des règles certaines 

 et exactes propres à le diriger dans tous les cas, on trouve celle que 

 nous indiquons dans l'article VI. 



Certaines méthodes d'approximation ont l'avantage de procurer des 

 valeurs alternativement plus grandes ou moindres que l'inconnue. Dans 

 ce cas, la comparaison des résultats successifs indique les limites entre 

 lesquelles la grandeur cherchée est comprise, et l'on est assuré de 

 l'exactitude des chiffres décimaux communs à deux résultats consécutifs, 

 mais la méthode que nous examinons n'a point cette propriété. On 

 démontre au contraire que les dernières valeurs qu'elle fournit sont 

 toutes plus grandes que l'inconnue, ou qu'elles sont toutes plus petites. 



On parviendrait à la vérité à connaître combien il y a de chiffres 

 exacts, en faisant plusieurs substitutions dans la proposée; mais en 

 opérant ainsi, on perdrait l'avantage de la méthode d'approximation, 

 dont le principal objet est de suppléer a ces substitutions. 



A l'égard des dernières valeurs approchées que l'on obtiendrait en em- 

 ployant la seconde limite b, elles passent toutes au dessous de la racine, 

 ou toutes au dessus, selon que les valeurs données par la première limite 

 a sont inférieures ou supérieures à cette racine ; ainsi le propre de la 

 méthode d'approximation dans son état actuel, est de ne jamais donner 

 des valeurs alternativement plus grandes ou plus petites que l'inconnue. 



ïy„ Les remarques que l'on vient de faire conduisent aux questions 



suivantes : 



( i ) Traité de la résolution des équations numériques. Lagrange , première édition, 

 page 140; édition de 1808, page 129. 



