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i°. Lorsque deux nombres a et b substitués dans une équation 0^ = 

 fournissent deux résultats de signe contraire, et lorsque l'équation a 

 une seule racine réelle entre ces deux limites a et b, peut-on découvrir 

 un moyen de reconnaître promptement et avec certitude si cette pre- 

 mière approximation est suffisante, pour que les substitutions opérées 

 suivant la méthode de Neuton, donnent nécessairement des valeurs de 

 plus en plus approchées; et comment doit-on distinguer ce cas de celui 

 où les substitutions pourraient conduire à des résultats divergens? 



2 . L'application de la méthode ne pouvant donner que des valeurs 

 qui sont toutes plus grandes ou toutes plus petites que la racine cher- 

 chée, quel procédé faut-il suivre pour mesurer facilement le degré 

 d'approximation que l'on vient d'obtenir, c'est-à-dire, pour distinguer 

 la partie du résultat qui contient des chiffres décimaux exacts appar- 

 tenans à la racine? 



L'objet de cette note est de donner des règles certaines et générales. 

 pour résoudre les deux questions que l'on vient d'énoncer. 



1 8 1 o. 



Pour satisfaire à la première question, il faut différentier successi- y.. 

 vement la proposée ç> x =0, en divisant par la différentielle de la va- 

 riable. On formera ainsi les fonctions <p'x, <p"x, <p'" x , etc., et l'on 

 substituera chacune des deux limites a et b à la place de x dans la 

 suite complète <px, <p'x, <P"x, ®'"x.... etc. ; on obtiendra ainsi 

 deux séries de résultats dont il suffira d'observer les signes. 



i°. Il suit de l'hypothèse même, que le signe du premier terme dans 

 la suite correspondante à la limite a, diffère du signe du premier terme 

 dans la suite que donne la substitution de b. S'il n'y a aucune autre 

 différence entre les deux suiles de signes, c'est-à-dire, si tous les termes, 

 excepté le premier, ont le même signe dans l'une et l'autre suite, l'ap- 

 plication de la méthode donnera nécessairement des valeurs de plus 

 en plus approchées; il est impossible que dans ce cas on soit conduit 

 à des valeurs divergentes. 



2 . Sx la condition que l'on vient d'exprimer n'a pas lieu , on recon- 

 naîtra que les deux limites a et b ne sont point assez approchées, et l'on 

 substituera un nombre intermédiaire, en examinant si le résultat de la 

 substitution, comparé à celui de a ou à celui de b, satisfait à cette con- 

 dition. On arrivera très-promptement au but par ces substitutions, et 

 l'on ne doit en général commencer l'approximation que lorsqu'on 

 aura trouvé deux suites de signes qui ne différent que par le premier- 

 terme, résultat qu'on ne peut manquer d'obtenir si l'on connaît deux 

 limites a et b d'une racine réelle. 



5°. Pour, trouver les valeurs convergentes, il ne faut pas emplover 

 indifféremment l'une ou l'autre des limites; il faut en général choisir 

 celle des deux limites pour laquelle la suite des signes contient au: 



