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premier terme <px et au troisième <p"x deux résultats de même signe. 

 Nous désignons ici cette limite par oc, et l'autre par B. 



Si l'on ne se conformait point à la remarque précédente, et que l'on 

 employât la limite B, qui donne h.<px, et à <p" x des signes contraires, on 

 pourrait être conduit à des résultats divergens. On pourrait aussi obtenir 

 des valeurs de plus en plus approchées : mais dans ce cas elles seraient 

 de la même espèce que celles qui proviennent de la première limite a,. 



4°. Les valeurs approchées que l'on déterminera seront toutes plus 

 petites que la racine, si la limite choisie a est au dessous de cette racine; 

 et elles seront toutes plus grandes, si la limite choisie a. est celle qui 

 surpasse la racine. 



5°. 11 n'est pas rigoureusement nécessaire que les deux suites de 

 signes ne diffèrent que par les signes des premiers termes q>a et <pb. La 

 condition absolue à laquelle les deux limites a et b doivent satisfaire 

 avant que l'on proeède à l'approximation; est la suivante : 



On comparera les deux suites 



(pu.... <p'a.... <p"a.... <p'"a.... <p""a.... etc. 



<pb <p'b <p"b.... <p'"b.... <p"" b etc. 



Il est nécessaire, premièrement, qu'en retranchant les termes ça et 

 çb, les deux suites de signes restantes aient autant de variation de signes 

 l'une que l'autre; et secondement, qu'en retranchant aussi les deux 

 termes c'a et ç'b, les deux suites restantes aient encore autant de va- 

 riations de signes l'une que l'autre. Lorsque cette double condition n'a 

 pas lieu, la méthode d'approximation ne doit point être employée; il 

 faut dans ce cas diviser l'intervalle b — a des racines. Mais si les deux 

 conditions sont remplies , les approximations linéaires seront nécessai- 

 rement convergentes. Cette convergence aura lieu à plus forte raison si la 

 condition énoncée dans le paragraphe (i°.) du présent article est satisfaite. 



Nous passons à la solution de la seconde des questions énoncées dans 

 l'article IV, paragraphe ( 2°. ); voici l'énoncé de la solution: 



i°. Si l'on connaît deux limites a et b entre lesquelles une racine 

 réelle est comprise, et si l'on détermine une valeur plus approchée a! , 

 suivant le procédé de l'article I., et en se conformant aux règles 

 exposées dans les paragraphes (i°.), (2°.), (3°.) de l'article V r> on 

 mesurera comme il suit le degré d'approximation que l'on vient d'ob- 

 tenir. L'expression de oc est a. — ~^- , ou l'on désigne par oc celle des 

 deux limites a et b qui donne le même signe pour <px et ç" oc. On 

 prendra pour seconde valeur approchée Q> la quantité B — -^j le 



diviseur $>' s» sera le même dans l'expression de oc', et dans celle de 6>\ 

 La racine cherchée sera toujours comprise entre » et &'.. 



