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Far conséquent les chiffres décimaux exacts qui appartiennent à la 1 8 l 8. 



racine, sont les chiffres communs qui se trouvent au commencement 

 (Je <x' et au commencement de B'; les chiffres suivans doivent être omis. 

 On continuera ainsi l'approximation, en joignant toujours à la valeur 

 donnée par le procédé connu vue autre valeur approchée /3 qui serve 

 de limile, et l'on déterminera facilement par ce moyen les chiffres 

 exacts de la racine. 



2°, On détermine la première valeur approchée a! en substituant ce. 



.. , i ii • 9 X d(cpx) 



au lieu de x dans 1 expression x r— ou x — <p x : — ^ — - ; on pour- 



1 y x a x ' r 



rait trouver une seconde valeur approchée B' , en substituant la même 



limite ce dans l'expression x — <p x : —., Ax désignant la différence 



finie a — B des deux limites. Mais cette règle que nous avions donnée 

 autrefois, parce qu'elle est clairement indiquée par les constructions, 

 ne fait pas connaître le degré de l'approximation aussi facilement que 

 celle qui est énoncée dans Je paragraphe ( i°.) du présent article. 



5°. Celte règle du paragraphe (i°.) de cet article, qui sert à obtenir 

 une seconde valeur approchée B', complette l'approximation , puis- 

 qu'elle donne toujours des limites opposées à celles qui se déduisent 

 du procédé de l'article I. On connaît par là combien les approximations 

 de ce genre sont rapides. On en conclut que si l'on emploie une valeur 

 approchée <x pour déterminer une nouvelle valeur ce' , eï si la première a 

 contient déjà un très -grand nombre n de chiffres décimaux exacts 

 (c'est-à-dire qui Appartiennent à la racine cherchée), la seconde va- 

 leur a! contiendra un nombre 277 de ces chiffres exacts. Le nombre 

 des chiffres qui appartiennent à la racine devient double à chaque 

 opération. On a fait depuis long-temps une remarque semblable par 

 rapport aux chiffres décimaux que fournit la méthode d'extraction des 

 racines carrées; mais ce résultat convient à toutes les équations; 

 quelle que soit la rature de la fonction <px, c'est un caractère commun 

 aux approximations du premier degré qui proviennent des substitu- 

 tions successives. 



Voici l'énoncé exact de celte proposition : si le nombre des chiffres 

 déjà connu est n, une seule opération en fera connaître plusieurs autres 

 en nombre n', et n' est égal à n plus ou moins un nombre constant h, 

 qui est le même pour toutes les opérations. 



4°- On peut aussi se dispenser de calculer séparément la valeur 

 de la seconde limite B' suivant la règle du paragraphe (i°.) du 

 présent article; il suffit de déterminer la première de ces limites «', 

 et de connaître d'avance le nombre des chiffres exacts qu'elle doit 

 contenir. 



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