Foui" l'intégrer, je désigne par z 1 une autre fonction de x, y et t, 

 qui satisfasse à l'équation 



dz l sd'z* d* z' \ 



??z étaut un coefficient indéterminé. £n différenciaut cette équation 

 par rapport à t , il vient 



d'- z 1 s d 3 z 1 d 3 z' \ 



~dt ' ' m \dx l dt dy> dt) ' 



et si l'on met dans le second membre de celle-ci , à la place de 



d z 1 



— — , sa valeur tirée de la précédente, on a 

 d t , 



tfrz 1 s d' 1 z' d* z' d*z<\ 



~d? ~ % \ dx* "•" 2 dm d y * «1 jy* ) > 



d'où il résulte que si l'on fait ??z a = — a 2 , on satisfera à l'équation (i), 

 en prenant z = z 1 . De cette manière, on n'aura qu'une intégrale 



•Ti l r • '"15 i • 



particulière de cette équation; mais si ion prend successivement 

 m = + a \f — i et m = — a >/ — i , l'équation (2) donnera deux valeurs 

 de z 1 , dont la somme exprimera l'intégrale complette de l'équation (1). 

 La question est donc réduite à intégrer cette équation (2). 

 Or, M. Laplace a donné l'intégrale de l'équation 



£i' d x z l 



d i d ov" ' 



sous celte forme : (*) 



/> — <e ; 



e <p (x -f 2 ce \/mt) dx; 



e étant la base des logarithmes dont le module est l'unité, q> une fonc- 

 tion arbitraire, et l'intégrale relative à x étant prise depuis « = 



jusqu'à a, = H . De plus, il est aisé d'étendre cette forme d'intégrale 



à l'équation (2), par rapport à laquelle on aura 



ry* — a- — S* 



z l = // e e <P (x + 2 x \/mt,J + 2Ê y/ mt ) dx d£; 



l'intégrale relative à 6 étant aussi prise depuis £= — — jusqu'à 6= -f . 



Maintenant, si nous mettons successivement dans cette formule 

 + a V~i et — a \/~i à la place de m, et que nous fassions la somme 



(*) Journal de l'École Polytechnique, i5 8 cahier, page a38. 



