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■Indépendamment de cette discussion , il est certain qu'on ce qui 

 concerne les points de la surface dont le mouvement apparent est 

 uniforme, on n'a déterminé par l'analyse les lois de la propagation des 

 ondes, que pour le cas où la figure du segment plongé serait celle 

 d'un arc de parabole. 



Nous indiquerons maintenant en quoi consiste la solution que nous 

 avons donnée de la question des vibrations des surfaces, et nous con- 

 sidérerons le cas linéaire, qui est celui de la lame élastique. Les 

 théorèmes dont j'ai fait mention , et qui avaient servi à donner les 

 intégrales dans la théorie de la chaleur, conviennent aussi à l'équation 

 différentielle des surfaces élastiques. Cette application exige seulement 

 un examen plus attentif , parce que l'équation est du quatrième ordre, 

 et que l'on doit introduire ici deux fonctions arbitraires. Ayant obtenu 

 l'intégrale par ce procédé, on parvient à effectuer une des intégrations, 

 et l'on trouve l'expression (b) que nous avons rapportée plus haut. 

 Il ne reste plus qu'un seul signe d'intégration, et sous ce signe la 

 fonction arbitraire qui représente l'état initial. Il s'agissait ensuite 

 d'interpréter ce résultat, et de reconnaître l'effet dynamique qu'il ex- 

 prime; il fallait surtout découvrir ces conséquences sans altérer la 

 généralité de l'intégrale, afin d'être assuré qu'elles ont lieu, quelle que 

 puisse être la forme initiale de la surface. Les questions de ce genre 

 dépendent de deux élémens principaux, savoir : i°. l'intégration de 

 l'équation différentielle; 2 . la discussion de l'intégrale applicable à 

 toutes les formes possibles de la fonction. Nous nous sommes attachés 

 à résoudre complètement ces deux difficultés. Nous n'exposerons point 

 les résultats de notre analyse concernant les lois finales des vibrations, 

 mais nous indiquerons ceux qui expriment l'état de la lame vibrante 

 après une valeur moyenne du temps. 



Le système considéré dans toute son étendue, et pour un même 

 instant, est formé d'une infinité de plis ou sillons, alternativement placés 

 au-dessus et au-dessous de l'axe. L'intervalle qui sépare deux points 

 consécutifs d'intersection de la courbe avec l'axe est d'autant plus petit, 

 que les points sont plus éloignés de l'origine. 



La distance de l'origine à chacun des points d'intersection, augmente 

 comme la racine carrée du temps. 



La profondeur de ces sillons alternativement supérieurs et inférieurs, 

 ou la distance de leur sommet à l'axe, abstraction faite du signe, n'est 

 pas la même pour les diffèrens points; si on pouvait l'observer en un 

 même instant dans tous les points de l'axe, on trouverait qu'elle dé- 

 croît d'abord, lorsqu'on s'éloigne de l'origine; qu'elle devient nulle, ce 

 qui, pour les parties assez éloignées, détermine un point de contact; 

 qu'ensuite elle augmente par degrés, et atteint un maximum beaucoup 

 moindre que le précédent; au-delà elle diminue, et devient nulle de 



