( i79 ) " 



Ces dernières formules, qui suffisent pour établir les propriétés des 1 8 1 8. 



Fonctions réciproques, sont celles dont M. Poisson et moi nous nous 

 sommes servis, chacun séparément, pour intégrer les équations diffé- 

 rentielles du mouvemeut des ondes. Au moment où J'ai rédigé sur cet 

 objet l'article déjà cité, je ne connaissais d'autre Mémoire où l'on eût 

 employé les formules en question, que celui de M. Poisson et le mien} 

 mais, depuis cette époque, M. Fourier m'ayant donné communication 

 de ses recherches sur la chaleur, présentées à l'Institut dans les années 

 1807 et 181 1, et restées jusqu'à présent inédites, j'y ai reconnu les 

 mêmes formules. Quoi qu'il en soit, comme on en a déjà fait, et qu'on 

 peut en faire encore de nombreuses applications, je crois que les géo- 

 mètres en verront avec quelque intérêt une démonstration simple et 

 rigoureuse. 



Pour établir les équations (7) et (8), nous chercherons les limi- 

 tes vers lesquelles convergent, tandis que a diminue, les intégrales 

 doubles 



(9) ^- tt VG0.cos.K* + *).^.<*v ^ = 0,^ = 001 



en partant de ce principe, que si N désigne une fonction de v toujours 

 positive depuis v == v jusqu'à v=z i/,, et / une valeur quelconque de v 

 intermédiaire entre v a et y,, on pourra choisir cette valeur intermédiaire v' 

 de manière à vérifier l'équation 



Cela posé, on trouvera % . 



Ile /(/)• c os. /«. (y + x). dp. dv 



J « r + 1' + *)* l ,=co J 



= arc.tang.^-./(/), 

 v' désignant une quantité positive; et l'on en conclura en faisant a, rs o 



