{ ÏI ) 



Remplaçons y par une fonction de x, et d'une nouvelle variable 1819. 



indépendante y . Les quantités u, p, q, qui étaient fonctions de x et y, 

 deviendront elles-mêmes fonctions de x et de y ; et l'on aura, en 

 cl ifféren liant dans cette supposition , 

 1 n du , dy 



(3) 



dx r 7 dx 

 du dy 



dy° ' dy a 



Si l'on retranche l'une de l'autre les deux équations précédentes, après 

 avoir différence la première par rapport a. y a , et la seconde par 

 rapport à x, on en conclura 



f/v dp _ dg dy dy dg 



^ dy dx' dy dx' dy ' 



Si, de plus, on désigne par 



X dx + Y dy + U du + P dp + Q dq 



la différentielle totale du premier membre de l'équation (1), on 

 trouvera, en différentiant cette équation par rapport à y B , 



C5) Y^ + U^+P-^+Q"' 



o. 



dy dy 9 dy v dy, 



et par suite, en ayant égard aux équations (3_) et (4), 



(6) (Y + ? U + P^)^ + (Q-P^)^ 



Observons maintenant que, la valeur de y en fonction de x et de y, 

 étant tout-à-fait arbitraire , on peut en disposer de manière à ce qu'elle 

 vérifie l'équation difFérentielle 



(7) < ?- P & = < » 



et qu'elle se réduise à y B , dans la supposition particulière x t= x t . 

 La valeur de y en x et y B étant choisie comme on vient de le dire, 

 les valeurs particulières de u et de q correspondantes à x = x a , savoir, 

 <p (y) et <p' (y) deviendront respectivement 6 (y ) et <p' (y*). Représen- 

 tons ces mêmes valeurs par u„, q g . On aura 



(8) U=*'(y.). 



Quant à la formule (6), elle se trouvera réduite par l'équation (7) à 



dq \ dy 



(r+'« u +?.ï) 



et tf 



et comme, y renfermant j par hypothèse, ■—• ne peut être cons- 



dy„ 

 dy. 



