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on conclura définitivement que, pour détçrminer les valeurs cherchées 

 des quantités y, u , p , q , il suffît de les assujettir à quatre des cinq 

 équations comprises dans les deux formules 



f(x, y, u, p, q) = o 

 (21) i dx dy du dp dq 



! 



? Q ~Vp+Qq X+pU Y+9U ' 



et à recevoir, pour x = x , les valeurs particulières y„, u„, p , q oS 

 dont les trois dernières sont déterminées en fonction de la première 

 par les équations (S) et (10). > 



Supposons, pour fixer les idées, qu'à l'aide de l'équation 



f{x,y, u,p,q) = o 

 on élimine p des trois équations comprises dans la formule 



. dx dy du dq 



(22) — — — p^; j-Q ? ~ "Y+"fÛ" 



En intégrant ces trois dernières, on obtiendra trois équations finies qui 

 renfermeront, avec les quantités 



x, J, u, q, 

 les valeurs particulières représentées par 



*o»y.> * (yJ> <?' (r*)- 



Si après l'intégration l'on élimine q, les deux équations restantes ren- 

 fermeront seulement, atêc les quantités variables x, y, u et la quan- 

 tité constante x , la nouvelle variable j a , dont l'élimination ne pourra 

 s'effectuer que lorsqu'on aura assigné une forme particulièreà la fonction 

 arbitraire désignée par p. Quoi qu'il en soit, le système des deux équa- 

 tions dont il s'agit pourra toujours être considéré comme équivalent 

 à l'intégrale générale de l'équation (1). 



Comme, dans tout ce qui précède , on peut substituer la variable x à 

 la variable y, et réciproquement; il en résulte que les intégrales des 

 équations (21) fourniront encore la solution de la question proposée, si 

 l'on considère dans ces intégrales y B comme constante, x e comme une 

 nouvelle variableque l'on doitéliminer, et u a ,p a , q a commedes fonctions 

 de cette nouvelle variable déterminées par des équations de la forme 



{34) /(■**, y°> u„ p , q.) 8= ô. 



Appliquons les principes que nous venons d'établir à l'intégration de 

 l'équation aux. différences partielles 



(26) ptj — xy = ô. 



