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Mémoire sur l'intégration de plusieurs équations linéaires aux y * 



différences partielles , et particulièrement de V équation générale 

 ait mouvement des fluides ; par ]\£. Poisson. 



L'Équation dont on s'est principalement occupé dans ce Mémoire, Mathématiques. 

 est celle-ci : 



rf' <p /d 2 <ç d' i <p . d* q> \ , . Acad. des Sciences. 



IF — a \d^ + Jr + ~d^/' CO Juillet 1819. 



dans laquelle a est un coefficient constant. C'est de la quantité <p , 

 déterminée par cette équalion, que dépendent, comme on sait, les lois 

 des petits mouvements des fluides élastiques, lorsqu'on suppose cons- 

 tantes la densité naturelle et la température du fluide. Les essais qu'on 

 a tentés pour en trouver l'intégrale complète, en conservant les quatre 

 variables indépendantes t, x, j, z, ont conduit à des résultats si com- 

 pliqués , qu'il serait impossible d'en faire aucun usage. Cependant l'in- 

 tégrale à laquelle je suis parvenu estd'une forme très-simple; et voici, en 

 peu de mots, le procédé dont j'ai fait usage pour l'obtenir. En désignant 

 par U une fonction quelconque de x , y, z, nous ferons, pour abréger,, 



d* U rf'U d*_U _ 



rfx 1 + dy* + ~d^ ~ U ' 



et nous conviendrons de représenter par PU , PU, J 4 U, etc., ceque 

 devient SU lorsqu'on y met SU, PU, S 3 U , etc., à la place de U; 



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en sorte qu'on ait généralement S U = S. S U. Au moyen de cette 

 notation , l'intégrale complète de l'équation ( 1 ) en série ordonnée 

 suivant les puissances de t, sera 



2 2. j.4 2.3. 4. 5. 6 



+ t V + ^f * V + -^ J" V + etc.; 

 2. o 2. 3.4.5 



U et V étant les deux fonctions arbitraires. La première partie se 

 déduit de la seconde, en la différentiant par rapport à t, et y mettant 

 U à la place de V; si donc nous faisons 



T = lV + ~^Y + -4^^ V + etc., 



2. 6 2.3.4- 5 



il nous suffira de chercher l'expression de cette quantité T sous forme 

 finie, par le moyen des intégrales définies. 



D'après les analogies connues entre les puissances et les différences , 

 nous aurons 



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