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1819. 



Note sur quelques intégrales définies, et application à la trans- 

 formation des fonctions en séries de quantités périodiques ; 

 par 31. Deflers , Maître de conférences à l'Ecole Normale. 



Dans son premier Mémoire sur la théorie du son, et, depuis, dans Mathématiques, 

 la Mécanique analytique , Lagrange donna des formules remarquables, 

 soit pour interpoler ou pour exprimer une fonction quelconque, par des 

 séries de quantités périodiques. M. Poisson établit des formules analo- 

 gues, dans son Mémoire sur les ondes; et leur démonstration omise dans 

 l'extrait inséré dans le Lulleiin du mois d'août i8i5, a paru en 1818 

 dans les Mémoires de l'académie des sciences pour 1816. De son côté, 

 M. Cauchy employa des formules semblables, dans ses recherches sur 

 le même problème, couronnées par l'Institut en 1816, et en déduisit les 

 propriétés des fonctious qu'il nomme réciproques i 1). M. Fourrier avait 

 aussi donné des théorèmes du même genre dans Ses Mémoires sur la 

 chaleur, présentés à l'institut en 1807 et 1811 , et dont il a paru un extrait 

 dans les annales de physique et de chimie de décembre 1816. 



Ces formules sont surtout utiles pour transformer les intégrales des 

 équations linéaires aux différences et aux différentielles partielles, ainsi 

 qu'aux différences mêlées, de manière kassujeltir ces intégrales générales 

 à représenter les valeurs initiales des fondions que ces équations déter- 

 minent, et à particulariser ainsi les fonctions arbitraires. Elles servent 

 aussi a représenter des fonctions pour telle étendue qu'on veut de leur 

 variable, ce qui est très-important dans les problèmes de mécanique 

 appliquée à la phvsique, où il faut que les intégrale» n'aient lieu que 

 pour l'étendue du système sur lequel agissent les forces. L'utilité de ces 

 formules se trouveampîement prouvée par les diversesapplications citées 

 plus haut, et parcelles que M. Poisson en a faites dans un Mémoire 

 inséré dans le dix-Miiliëine Cahier 'du Jowtidl de l'Ecole Polytechnique, 

 où il en a en même-temps exposé la théorie. La lecture de ce Mémoire 

 m'a suggéré les remarques suivantes; elles ont pour but de démontrer 

 directement ces formules, qui ne l'ont été jusqu'ici que comme limites 

 d'expressions du même genre. 



Je considère d'abord les intégrales /'/vrsin. axdx et ffx cos. axdx, 

 et j'établis sur la valeur de ces intégrales, dans le cas de a infini, ou 

 pour parler plus rigoureusement, sur leurs limites relatives à l'accrois- 

 sement indéfini de a , un théorème général dont l'application à divers 

 exemples me donne plusieurs formules remarquables déjà connues, mais 

 obtenues ainsi par des considérations différentes.. Je trouve aussi la va- 



(1) Bulletins îles mois d'août 1 Bi 7 et décembre 181 8. 



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