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 leur des intégrales défioies / sin -f x dx. È sia - a3i dx, pour le cas de a infini 



./ sin. x ,J x 



«t entre diverses limites de x; et c'est comme application immédiate dtf 

 ces résultats, que se présentent les formules citées plus haut. 



Il est remarquable que les expressions sin. ax et cos. ax, qui devien- 

 nent indéterminées quand a est infini, ne rendent pas telles les inté- 

 grales ffx sin. axdx et ffx cos. axdx. En effet, l'intégration par par- 

 ties les change en — /x cos. ax A ff'x cos. axdx et — fxsin. ax 



-ff'x sin. axdx, résultats que la supposition de a infini rend 



nuls, si fà reste finie aux limites de l'intégration, et f'x pour toute 

 l'étendue de ces limites. Si f x devenait infinie pour certaines valeurs 

 intermédiaires b, l' , les intégrales «proposées se réduiraient aux seuls 

 élémens/^ sin. abdx, fb cos. abdx qui sont infiniment petits, s\fx 

 reste finie ; et rnèmefx pourrait être infinie , sans que ces portions d'in- 

 tè^râles le fussent, car alors l'intégrale définie n'a plus de rapport avec la 

 valeur des élémens. Pour vérifier ces résultats, évaluons les intégrales dans 

 l'intervalle b — & kb + B, £ étant très-petit, et prenons la limite relative au 



décroissement de/3; posant x = b + u et f (b + u)=z^4 + B u +Cù +. , 



il v\e.nt ffx sin. axdx-=Afs\n. a(b + u)du + B f u sin. a^b -f u)du... 

 Slf'x est seule infinie, les exposans K, K' sont positifs et K<^i, le pre- 

 mier terme est nul, et les suivans sont numériquement plus pelils que le 



K K' . .. . . , ; 



double des intégrées fu du, f u du... prises de u = o a u == & ou que 



K + , K' + i . 



Ht , tl , expressions dont la limite est nulle. Si fx est infinie: 



K+x '&' + !- ,•.■:.-■•/».. . 



quelques-uns des exposans A', K' seront négatifs, mais s'ils sont moin~ 

 dres que l'unité, suivant une remarque de M. Poisson, le théorème des 

 intégrales définies a toujours lieu , et les divers termes pourront encore 



se comparer a j u du = qui donne o pour limite, l'exposant 



i — K. 

 étant positif: ffx cos. axdx conduirait au même résultat. Ainsi In li- 

 mite des intégrales ffx sin. axdx et ff'x cos. axdx, relative à l'ac- 

 croissement indéfini de a , est nulle tant que/r reste finie entre les limites 

 de l'intégration, ou que devenant infinie pour certaines valeurs de x, 

 son développement, à partir de ces valeurs, contient des exposans né- 

 gatifs moindres que i. 



/». 

 ~ — dx, font voir 

 sin. a 



