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qu'elle est nulle pour toufes les limites qui ne comprennent pas les va- 1 8 1 9. 



leurs o,tt, 27T. . . — 7T. . . qui seules rendent le multiplicateur de sin. ax 

 infini, età partir desquelles son développement comprend l'exposant — 1. 

 Cherchons sa valeur pour les limites — x' et -f x",x ' et x" étant moindres 

 que y, cl supposons d'abord que a soi t un nombre entier quelconque; 

 on déduit facilement des équations connues 2y/ZTl siu. ix = (cos. x 



-I- i/^l sm.x ) — (cos. x — \f^—i sin..r ) et 2 \f~\ sin. x=z (cos. x + 



/ — • \ / / — ■ • n sia.ix ,. . 



y — 1 sin. x) — (cos, a; — y — 1 sin.x), — — = cos.u — i)x-\-cos.U — ^)x 



. . . . + cos. ( — ï +• 3) .r -f cos. ( — i + i\xj e t > suivant que i sera de la . 

 P . , . sin. (ai-j- i)x _ . sin. ï.i'jb 



iorme 2^ + 1 ou 21 , on aura : — - =22, cos. 2^ + i , et -.— — 



sin. x ' sin. x 



—. 2 .2 cos. ( a-2 — 1 ) ±, le signe 2 s'étendant de z= 1 à i = la valeur 

 entière qu'où lui assigne dans le premier membre : multipliant par dx 



et intégrant, il vient /i^îitllf dx = 2 2 s i!!l_ a if + .r + c et f^J^dx 

 .J sin. x a » ,/ sin. x 



_,siu. (ai — i)a) . 



= 2i . \- c' . 51 j; reste compris entre o et x, jt et 2?r. . . et 



ai — 1 l ' 



sin 3 ?• ji 



qu'on fasse i infini, les premiers membres sont nuls, et on a 22 — '— . — 



i , „ sin. ( aï — 1 ) x , . _ , , . , 



-f x + c = o, et 22 — ^- v - '— -f c' =0, le sigue 2 s étendant de 



' ai— 1 ' ° 



, . __,. ""., . , ",5r .1 1 1 



/= 1 a i = co. taisant x— — . il vient, a cause de— = 1 — *?■+-: • • • , 



a 4 357 



* j, , * „ sin. 2 ix ,:«■ „ sin. (aï — i)x ^. 



czz-c' = ,u ou- j; = 2i ; — et — = 2 2 ~- — . Cnan- 



2 a a » a at — 1 



géante en — x dans la première équation, on aura les formules connues, 



— (ir — x) = sin. x + — sin. 1 x + — sin. 3 x . . . , et — = sin. x -f- — 

 a a 3 4 3 



sin. Sx + — sin. 5.z • • • : .r varie dans la première de o à 1%, si l'on y 



change x en ir—x, elle donne— .r' =sin..z' — - sin. ax' -f — sin.3.z'..., 



D ' 2 a 3 



formule également connue, où jr' peut varier de o à + t et de o à — srj 

 elle est vraie pour a:' = o, mais non pour x' ' == t. 

 Cela posé, on aura entre les limites — x' et -f x" 



/""• (» + »)« ^ — 2 2 ' în - a * J " + a;" + 2 2 sin - » fe ' -f- x ' , et / s j2l^dx 

 sin. a; 2* ai ,/ sin. x 



sin. (ai— 1) a?" „ sin. (2Ï— 1 )x' 



= 22 - ; - h 2 2 v - i — : 



a » — J 2»—i 



