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et quelque petits que soient x' et x" , les seconds membres de ces 

 équations se réduisent à it en vertu eus formules précédentes. Telle est 



donc la valeur de l'intégrale / sin ' % ~.d.r. entre des limites moindres que rr, 



,J sin. x 



et comprenant la valeur o. Elle est encore celle de / S1 "' ax dx, a étant 



% J sin. x 

 une quantité infinie quelconque ; car si on pose a = i + a', i étant un 

 nombre entier qui pourra devenir infini et a' une quantité finie, on aura 



/ «in.(* + a') i g //r== flm.ixc 0S .a'x 4r . + f ^os.ï xsm.^x^ . {q seC0Q(i 

 ,J sin. as s y sin. x J sin. a? 



terme est nul, puisque le multiplicateur décos, ix reste fini, et le 



premier pouvant se mettre sous la forme / s ™'—dx — / sin. ix. 



J sin. x J 



l - cos - a ' x dr : se réduit à r^L™dx, par la même raison, 

 sin. x J sin. x 



L'intégrale / S1 "' a —dx, nulle pour toutes les limites, autres que celles 



qui comprennent la valeur o, peut pour ces dernières se ramener à la 



précédente: car on a f*±Lj^dx = fh^dx — Cûn.ax ^ï^dx, 

 J x J sin. x ,) œsin. x 



et le second terme est encore nul. 



„, , ,,, • sia. (ai-j-i)x _, . 



Changeons dans l équation - : — ■ — ' — = 3i cos. icx + i, x en 



*(x — »} ..• i- fada . ... 



■ . y multiplions par '— - — et intégrons, nous aurons 



/* 



(ai'+ i, 



a- (as — «) 



il 



k{x — *A 



2Sl!i. 



-/oc *«= A cos. îzSz'z&r* - + - Û*d«. 

 I J t J t ïlJ J 



2/ 



Prenons pour valeurs extrêmes de x, a=zo et a — l; supposons que 

 Jx reste finie entre ces limites, et que la- variable x y soit toujours 

 comprise, alors le premiermembre sera nul, pour toutes tes valeurs 

 de x différentes de x; il ue reste donc à l'évaluer que de x z=z x — 

 à x-=.x + pour les valeurs de a; autres que o ou /, et de x=o hx = 

 si x = o, et enfin de <* = /— /3 hx = l, si x — l: faisant x = x -f u, 

 les 1 Unités de «seront — & et -j- 0; ou o et + 0, ou enfin — /3et o, et 

 puisque cette variable reste, très-petite, nous pourrons poser Jx—J(x-\-u) 



= fx -f Au -\- B u ... les exposans K, K' . . . étant entiers ou frac- 

 tionnaires;, mais positifs. Alors il suit immédiatement des remarques 



