MÉTODO RACIONAL PARA CERRAR UN POLÍGONO 25 



16. Problema I. — Determinar con los elementos del polígono cal- 

 culado una recta paralela á una dirección dada y apoyándose 

 sobre AG y CD (fig. o) de modo que MABCN tenga una superficie 

 dada. 



Desde luego se ve que el problema tal como está enunciado 

 tiene dos soluciones : la recta MN á la derecha de ABC, que es la 

 verdadera solución^ y otra recta á la izquierda de ABC que corta AG 

 y CD á un lado ú otro de o según el valor de la superficie dada. 



Por una transformación sencilla podemas evitar esta solución ex- 

 traña. Basta para eso calcular la superficie ABCO ^ y determinar 

 la recta MN por la condición de que el triángulo OMN tenga una 

 superficie igual á : S' -|- superficie del polígono auxiliar, sea Si la 

 superficie conocida de este triángulo OMN. 



Sean a, b, I las distancias desconocidas OM, ON, MN. 



En el triángulo OMN, tenemos que : 



(1 ) 2Si = ab sen u = al sen v = bl sen (v — u) 



De donde sacamos : 



r- = 2S, '-^ , a' = 2S, ^^"^"-"^ 



,^, , sen V sen {v — u) sen v sen u 



6^ = 28.- '-^ , 



sen M sen {v — u) 



Fórmulas calculables por logaritmos. 



Be ay b se deducen AM y CN y así conocemos todos los elementos 

 que se refieren á la posición de MN. 



Observación I. — Se ven desde luego con la hipérbola (15) las 

 condiciones y los límites de posibilidad : la recta de división debe 

 hacer con oX un ángulo comprendido entre XGG ' y XD 'D, ángulos 



^ ABCO = triángulo OCH — suma de los trapecios BC, AB . . . 

 Cada uno de esos trapecios es conocido, puesto que fueron calculados para de- 

 terminar la superficie del polígono total. En cuanto al triángulo OCH es igual, 



1 h~ 

 llamando h á CH, á =: - — • 



