Neue Entwicklungen über die Abel’'sche Integralumkehrungsformel. 65 
besteht aus dem Hauptstern $,, dem der Schnitt 1... zugefügt 
wurde. 
Es sei jetzt z, ein Wert von z, innerhalb des Konvergenzkreises von 
| ne oder eine Stelle auf ihm, derart dass I ae Ha 
konvergiert. Wenn dann noch R(s)<0, so kann in der Formel (9) 
zur Grenze x = 1 übergegangen werden, da die Integrale der rechten 
Seite konvergieren. Daher 
z=l i=l 
a-t+:1 Merr+i) 
Wenn z, ein Wert von z ausserhalb des Konvergenzkreises von 
Da, 2* ist, so konvergiert der Zähler des Mittelwertes nur noch in 
& 
einem Kreise, dessen Radius kleiner als 1 ist und von dem Grenz- 
übergang lim x =1 kann nicht mehr gesprochen werden. 
Anders verhält sich dagegen das Integral rechts in (9). Dem 
Vektor 0...z, in $ entspricht der Vektor 0...1 in 8. Die durch 
H(&,z,) definierte Funktion verhält sich daher regulär in der Um- 
gebung jeder Stelle dieser Strecke 0...1, Endpunkte inbegriffen. 
; Dies ist aber gerade der Integrationsweg des Integrals in (9) und 
* somit konvergiert dieses Integral für jeden Wert z, der im Innern 
des Hauptsterns S der Reihe _D' a;s* liegt. Hierbei hat man aber 
0 
von der Fortsetzbarkeit der Reihe 4 (x, 2,) längs der Strecke 2=0..1 
Gebrauch gemacht, was ein wesentlicher Unterschied ist gegenüber 
den von Herrn Borel und Herrn Mittag-Leffler benutzten bestimmten 
Integralen. Während diese Fortsetzung bei einzelnen Funktionen 
H(&,z) ohne Mühe geleistet werden kann, wie bei den Integral- 
darstellungen für die Gauss’sche hypergeometrische Funktion, ist 
sie für andere Funktionen ja gerade die Aufgabe, die gelöst werden 
soll. Dies zeigt, dass derartige Integraldarstellungen den Funktionen 
angepasst werden müssen, auf die man sie anwenden will, und dass 
nicht jede der möglichen Formeln für alle Anwendungen gleich gut 
geeignet ist. 
Ist endlich z, ein Wert derart, dass arg z, = arg s„ und |2, |> | Sn P 
dann liegt auf dem Integrationsweg 0... 1 mindestens eine Singularität | 
der Funktion H(x,2,). Aber es gibt Fälle, in denen dies die Kon- 
 vergenz des Integrals nicht zerstört, und dann liefert das Integral 
mehr als einen Wert, die man mit den verschiedenen Zweigen der 
Funktion in Zusammenhang bringen kann. 
Vierteljahrsschrift. d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 62. 1917. 
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