Vom freien Fall auf schiefen Ebenen. 75 
mittelpunkt zwischen dem letztern und der Tangente des Kurven- 
punktes von konstanter Länge, nämlich, wie direkt ersichtlich, gleich 
244A,. Wählt man in der Ebene des Kreises über AA, irgendeinen 
Punkt und frägt nach den Sehnen durch diesen Punkt, die in vor- 
geschriebener Zeit durchfallen werden, so kann man sagen: Es gibt 
durch den Punkt zwei solche Sehnen, nämlich die Tangenten 
des Kegelschnittes mit A, A, als Scheitelpunkten und #, F, 
als Brennpunkten, wobei zum Durchfallen .der vertikalen 
Strecke FF, die vorgeschriebene Zeit nötig ist. Denkt man 
sich durch den Punkt alle möglichen Sehnen gelegt, so kann man 
nach derjenigen fragen, zu deren Durchfallen ein Minimum an Zeit 
nötig ist; diese Sehne muss die Grenzlage von zwei unendlich benach- 
barten Sehnen darstellen, zu deren Durchfallen die gleiche Zeit nötig 
ist. Also ist die gesuchte Sehne diejenige, die auf der Tan- 
gente des Kegelschnittes liegt, der durch den gegebenen 
Punkt geht und A, A, als Scheitelpunkte besitzt. Liegt in der 
Ebene des Kreises über AA, eine Kurve, so kann man nach den 
Tangenten fragen, die solehe Kreissehnen enthalten, welche in vor- 
geschriebener Zeit durchfallen werden. Diese Tangenten sind 
die gemeinsamen Tangenten-der gegebenen Kurve und des 
Kegelschnittes mit A, A, als Scheitelpunkten und F,F, als 
Brennpunkten, wobei die Strecke FF, in der vorgeschrie- 
benen Zeit durchfallen wird. Man kann auch nach denjenigen 
Kurventangenten fragen, die Kreissehnen enthalten, zu deren Durch- 
fallen ein Minimum oder Maximum von Zeit nötig ist. Jede solche 
Tangente muss die Grenzlage von zwei unendlich benachbarten 
Tangenten darstellen, die Sehnen mit gleicher Fallzeit enthalten. 
Also muss die gegebene Kurve in dem Berührungspunkte 
jeder gesuchten Tangente von einem Kegelschnitt berührt 
werden, der A, 4, als Scheitelpunkte besitzt. Um die Anzahl 
dieser Punkte zu ermitteln, kann man die gegebene Kurve, die von 
der „ten Ordnung sein soll, in ngerade Linien degenerieren lassen; 
dann wird jede Gerade von einem Kegelschnitt berührt, der A, 4, 
als Scheitelpunkte hat und durch jeden der na Schnittpunkte der 
 nGeraden gibt es ebenfalls einen solchen Kegelschnitt. Aber der- 
selbe zählt doppelt, weil die Kurve im Schnittpunkt von zwei Geraden 
sich wie eine Hyperbel verhält, deren beide Aste berührt werden. 
Also ist die gesuchte Anzahl „+2 Inn 1). 
Hat man in einer vertikalen Ebene eine Kurve nter Ordnung und 
einen Punkt A, so kann man, in geometrischem Sinne, nach den 
z ; Strecken von A nach Punkten der Kurve, oder von Punkten der‘ 
