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Kurve nach A fragen, so dass die Strecken in gegebener Zeit durch- 2 
fallen werden. Die fraglichen Punkte auf der Kurve sind die : 
4n Schnittpunkte der Kurve mit den zwei Kreisen durch = 
4, diein A eine horizontale Tangente und gegebenen Durch- 
messer haben. Soll die Zeit zum Durchfallen einer solchen Strecke 
ein Minimum oder Maximum sein, so muss die Strecke die Grenz- 
lage von zwei unendlich benachbarten Strecken mit gleicher Fallzeit 
darstellen. Also erhält man die bezüglichen Punkte der 
Kurve als Berührungpunkte von Kreisen durch 4, diein4 
eine horizontale Tangente haben. Die Zeit ist ein Minimum 
oder Maximum, je nachdem die Kurve an der Berührungsstele 
ausserhalb oder innerhalb des Kreises verläuft. Um die Anzahl 
dieser Punkte zu ermitteln, kann man die Kurve in n Geraden 
zerfallen lassen; dann wird jede Gerade von zwei Kreisen berührt 
und durch den Schnittpunkt von je zwei Geraden geht ein Kreis, 
der aber doppelt zählt, weil die Kurve im Schnittpunkt von zwei i 
Geraden sich wie eine Hyperbel verhält, deren beide Zweige berüht 
werden. Also ist die Anzhl solcher Kurvenpunkte, deren = 
Verbindungslinien mit A ein Minimum oder Maximum der 
Fallzeit beanspruchen 2n-ı 2 R—l)-n-+n. 
Sind P, Q irgend zwei Punkte in einer vertikalen Ebene, so 
kann man nach dem Ort eines Punktes fragen, dessen Verbindungs- 
linien mit P,Q in gleicher Zeit durchfallen werden. Dieser Ort er- 
gibt sich, indem man alle Kreise durch P, Q legt und die Endpunkte 
4, A, ihrer vertikalen Durchmesser aufsucht. Aus der Abbildung 
folgt TCAQ— APQ, CAQ— 4QQ*, also < APQ — 4AQQ*, d.h.: 
die Strahlen P4 und Q4A bilden zwei entgegengesetzt gleiche 
Büschel, und der Ort von A ist die gleichseitige Hyperbel, 
Art finden; aus der Abbildung O4? _ :-CQ-CP=(CH—UQ)-(CM+MQ) 
. ‚bbildung CA’ - 
= CU —MQ, oder U - 02: _ MQ', d. h. der Ort von A ist die 
‚ indem man gleich grosse Kreise mit horizontalen 5 
Kreise unterhalb oder beide oberhalb der 
