Vom freien Fall auf schiefen Ebenen. 77 
Wenn die zwei Kreise sich berühren, so ist der Berührungspunkt 
ein Punkt auf der Hyperbel von der Eigenschaft, dass seine Ver- 
bindungslinien mit P, @ in gleicher Zeit, die zudem ein Minimum 
ist, durchfallen werden. Es gibt zwei solche Punkte, deren 
Verbindungslinien mit ?, Q@ in gleicher und minimaler Zeit 
durchfallen werden; aus Symmetriegründen sind die zwei 
Punkte einfach die Schnittpunkte der Hyperbel mit dem 
Kreis über PQ als Durchmesser. 
Wählt man in der vertikalen Ebene durch P, @ einen dritten 
Punkt R, so kann man nach den Punkten fragen, die mit P, Q, R 
verbunden, drei Strecken liefern, welche in gleicher Zeit durchfallen 
werden. Es gibt zwei solche Punkte und sie werden einfach 
gefunden, indem man durch P, Q, Reinen Kreis legt und die 
Endpunkte seines vertikalen Durchmessers aufsucht. Diese 
zwei Punkte sind die gemeinsamen Punkte der drei gleichseitigen 
Hyperbeln, welche zu je zwei der drei Punkte P, Q, R gehören. 
Sucht man alle Punkte im Raum, die, mit den zwei Punkten 
P, Q verbunden, zwei Strecken geben, welche in gleicher Zeit durch- 
‚fallen werden, so hat man alle Kugeln durch P, Q zu legen und den 
Ort der Endpunkte ihrer vertikalen Durchmesser zu suchen, oder 
man hat an jede der durch P, Q gehenden Kugeln die horizontalen 
Tangentialebenen zu legen und den Ort der Berührungspunkte zu 
ermitteln. Irgendeine horizontale Ebene wird von unendlich vielen 
Kugeln berührt; ist C der Schnittpunkt der Ebene mit PQ, so ist 
CA die mittlere Proportionale zwischen CQ und CP. Alle Punkte 
des gesuchten Ortes, die in der horizontalen Ebene liegen, bilden 
also einen Kreis mit dem Mittelpunkt C und dem Radius CA. Dieser 
Kreis hat einfach eine horizontale Sehne der zu P, Q gehörigen gleich- 
seitigen Hyperbel zum Durchmesser. Der gesuchte Ort ist die 
Fläche zweiter Ordnung, welche entsteht, wenn man über 
jeder horizontalen Sehne der gleichseitigen Hyperbel als 
Durchmesser einen horizontalen Kreis legt. Die Fläche, die 
in P, Q horizontale Tangentialebenen hat, besitzt noch andere Kreis- 
schnittebenen. Zwei gleich grosse Kugeln, durch P,Q mit horizon- 
talen Tangentialebenen in P, Q und auf gleicher Seite derselben 
gelegen, schneiden sich in einem Kreis, welcher ebenfalls der Fläche 
zweiter Ordnung angehört. Die Ebenen dieser Kreise stehen 
wegen der Gleichheit der Kugeln auf der zur jeweiligen 
Zentralen parallelen Geraden PQ senkrecht. 
Hat man drei Punkte P, Q, R im Raum, so werden alle Punkte, 
deren Verbindungsstrecken mit den drei Punkten in gleicher Zeit 
