Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades. 
= Von 
A. Hurwıtz. 
(Als Manuskript eingegangen am 23. Februar 1917.) 
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| Während sich die ternären diophantischen Gleichungen vom 
| Geschlecht Null in vollständig befriedigender Weise erledigen lassen'), 
e weiss man von den Gleichungen höheren Geschlechts bisher sehr 
ee: wenig. In den folgenden Zeilen möchte ich einen kleinen Beitrag 
zur Theorie der diophantischen Gleichungen vom Geschlecht 1 geben, 
beschränke mich dabei aber auf den einfachsten Fall, nämlich den 
| der Gleichungen dritten Grades, in dem also, geometrisch gesprochen, 
die Gleichung eine doppelpunktslose Curve dritter Ordnung darstellt.?) 
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RE 
r 
ar 
1: 
= Es sei, unter x, y, z Dreieckskoordinaten verstanden, 
ri) Fa, y2) = 0 
die Gleichung einer solchen Curve ©. Die Coeffizienten dieser Glei- 
chung mögen einem algebraischen Zahlkörper X angehören und all- 
gemein werde unter einem „rationalen“ Punkte der Ebene ein solcher 
verstanden, dessen Coordinaten x, y, z zu drei Zahlen des Körpers 
K proportional sind. Bekanntlich kann man durch folgende Kon- 
struktion, die ich weiterhin als „fundamentale Konstruktion‘ bezeichnen 
werde, aus zwei als rational vorausgesetzten Punkten P und Q der 
- Curve © einen dritten solehen Punkt ableiten: Man verbindet Pund Q 
durch eine Gerade und bestimmt den dritten Durchschnittspunkt % 
“ !) Vgl. D. Hilbert und A. Hurwitz, „Über die diophantischen Gleichungen vom 
Geschlecht Null“, Acta mathematica, Bd. 14, S. 217—224 (1890). Unsere Resultate 
_  matiques pures et appliquses, 5° serie, t. 17, p. 161—233 (1901). 
N, i : = : : »ubiche ternarie» 
von Beppo Levi: «Saggio per una teoria aritmetica della forme eubiche tı 
(Accademia reale delle scienze di Torino, Nota I—IV, 19061908) zu Gesicht, die 
teilweise ähnliche Ziele verfolgen, wie die vorliegenden Untersuchungen. 
